conjuntos de polinomios multivariados

Question

Deje $p:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ ser un polinomio de grado en la mayoría de las $d$. Restringir $P$ a la unidad de cubo de $Q=[0,1]^n\subset\mathbb R^n$. Suponemos que $p$ valor medio cero en la unidad de cubo de $Q$:

$\int_Q f(x) dx = 0.$

Para $\alpha>0$ considera que el subnivel conjuntos de $P$,

$$E_\alpha= \{x\in Q: |p(x)|\leq \alpha\}$$

Hay varias estimaciones conocidas para la medida de Lebesgue de este conjunto que en algún sentido u otro son uniformes a través de varias clases de polinomios. Por ejemplo, tenemos que

$$|E_\alpha| \lesssim \min(pd,n) \frac{ \alpha^{1/d} }{ \|p\|_{ L^p(Q) }^{1/d} } $$

Esta estimado en particular es debido a Carbery y Wright y se puede encontrar aquí.

Estoy interesado en el estudio de la (inducida por Lebesgue), la medida de los límites de este conjunto

$$|\partial E_\alpha|=|\{x\in Q: |P(x)|=\alpha\}| $$

Considere primero el caso fácil de dimensión $n=1$. Entonces el conjunto $E_\alpha$ es una unión finita de intervalos cerrados y la pregunta es trivial. Es obvio que en este caso no son en la mayoría de las $O(d)$ intervalos de por lo que el $0$-dimensiones de la medida de la frontera es $O(d)$.

Ahora en muchas variables, las cosas serán mucho más complicado. Por ejemplo podemos decir que el conjunto de $E_\alpha$ $O(d)$ componentes conectados? Hay una estimación de la medida de la frontera $\partial E_\alpha $ en términos de $\alpha$, $d$ y $n$, suponiendo que (decir) que $\|p\| _ {L^1(Q)}=1$ ?

Esta pregunta surge naturalmente, si uno trata de estudiar una oscilación integral con la fase de $p$ y aplicar la integración por partes (i.e teorema de Gauss), imitando a la unidimensional método para probar la de van der Corput lema (por ejemplo).

Answer 1

No es un trivial estimación de la medida de los límites basados en la observación de que $|p|^2$ es todavía un polinomio, por lo que la superficie correspondiente cruza cualquier línea en la mayoría de las $2d$ veces. Un promedio de más direcciones, obtenemos $O(d\sqrt[] n)$, independientemente de $\alpha$. Ahora, la pregunta es qué es exactamente lo que queremos: una dimensión independiente de obligado, un límite que es pequeña para un gran $\alpha$, o de cualquier otra cosa. Lo que realmente puede ayudar a tratar desde el otro extremo: averiguar qué es exactamente lo que necesita y vamos a tratar de averiguar si es cierto o no. De lo contrario, usted puede conseguir un montón de respuestas triviales y no triviales estimaciones para todo, ninguno de los cuales se ajuste a sus necesidades reales.

Answer 2

No sé cómo estimar la medida de los conjuntos de nivel, pero puedo responder a la pregunta sobre el número de componentes conectados a una medida. Deje $P_f(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-f)$, y definir $p(x_1, \ldots, x_n) = P_f(x_1)^2 + \cdots + P_f(x_n)^2$. A continuación, $p$ tiene el grado $2f$, y el nivel de los conjuntos de $p = \varepsilon$ pequeña $\varepsilon$ ha $f^n = (d/2)^n$ componentes conectados (cada una de las $x_i$ debe estar cerca de una de las raíces de $P_f$).

Teorema de 11.5.3 de Bochnak, Coste, & Roy, la Geometría Algebraica Real, dice que la suma de los números de Betti, por lo tanto el número de componentes conectados, de un conjunto algebraico en $R^n$ definida por el grado ≤d polinomios es en la mayoría de las $d(2d-1)^{n-1}$. Así que para los fijos n, el número máximo de componentes conectados de los conjuntos de nivel de un polinomio de grado d en n variables es $\Theta(d^n)$.

Answer 3

Un estímulo de actualización: Daniel Kane publicado su prueba para el caso Gaussiano en arXiv ayer. La prueba es muy sencilla y brillante. No se sorprenda si su técnica puede ser modificado para cubrir el cubo caso.