Hay una fórmula directa para calcular los conjuntos de potencia P(A) de un conjunto A con m miembros.

Question

Usando el Teorema de Cantor: si tenemos un Conjunto A, con n miembros la Cardinalidad del Conjunto Potencia es $P(A)=2^n$. ¿Existe una fórmula para calcular n Conjuntos Potencia $P(...P(P(A))...)$ de un conjunto A con m elementos sin hacer la iteración simple $(((2^2)^2)..)^2^m$ n veces? Muchas gracias

Answer 1

El término $(((2^2)^2)\ldots)^2$ se simplifica a $2^{2^n}$. Esto se sigue de la identidad general $(x^m)^n=x^{m\cdot n}$ y la inducción.

Sin embargo, lo que realmente deberías estar calculando (como señala S4M en los comentarios) es una expresión como $$ 2^{2^{2^{2^{2^n}}}} $$ que no se simplifica más.

Answer 2

La fórmula correcta es $$\large{2^{\left(2^{\left(2^{\dots(2^n)}\right)}\right)}}\;.$$ Es decir, comienzas con $2^n$ para la cardinalidad de $\wp(A)$ cuando $|A|=n$, luego obtienes $2^{2^n}=2^{(2^n)}$ para la cardinalidad de $\wp(wp(A))$, y así sucesivamente. No conozco una forma más simple para esta potencia iterada.

Answer 3

Una vez que haya corregido la formulación de su pregunta según lo indicado en los comentarios, tendrá una expresión para la cardinalidad de la iteración del conjunto de potencia.

Puede expresar expresiones comparables de manera más económica utilizando la notación de flecha hacia arriba de Knuth o utilizar una recurrencia como la Función de Ackermann para expresar números similares de una manera diferente. Ninguno de estos cambiaría el valor o haría que fuera más fácil de calcular.

Las notaciones tendrían que ser adaptadas para expresar los valores que desea - si tales valores fueran lo suficientemente comunes en el trabajo práctico, sin duda las notaciones adaptadas para expresarlos eficientemente se popularizarían.