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¿Cómo se probaría $[f,[\nabla^2,f]]=-2(\nabla f)^2$?

¿Cómo se podría demostrar esta ecuación?

$$[f,[\nabla^2,f]]=-2(\nabla f)^2 $$


Y estoy confundido de que $\nabla f\nabla f$ sea igual a $(\nabla f)^2$ o $\nabla(f\nabla f)$.

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parzan Puntos 16

Esto es bastante sencillo si asumimos que $\nabla$ cumple la regla de Leibnitz (por lo que la relación funciona para cualquier derivada covariante así como coordenada - esta es realmente la definición de $\nabla$) y también ten en cuenta que $−2(\nabla f)^2$ debe interpretarse como un operador de multiplicación. $\nabla f \nabla f$ es, estrictamente hablando, ambiguo sin corchetes: podría ser cualquiera de tus expresiones.

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Andru Puntos 1582

Paso 1

$[\nabla^2,f]g=\nabla \cdot \nabla(fg)-f\nabla^2g=\nabla \cdot ((\nabla f)g+f(\nabla g))-f\nabla^2 g=(\nabla^2 f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f\nabla^2 g-f\nabla^2g=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)$

$\Rightarrow [\nabla^2,f]=(\nabla^2 f)+2(\nabla f)\cdot \nabla$

Paso 2

\begin{eqnarray*} [f,[\nabla^2,f]]g & = & [f,(\nabla^2 f)+2(\nabla f) \cdot \nabla]g \\ & = & [f,2(\nabla f) \cdot \nabla]g \\ & = & 2(\nabla f) \cdot [f,\nabla]g \\ & = & 2(\nabla f) \cdot (f\nabla g-\nabla(fg)) \\ & = & 2(\nabla f) \cdot (-(\nabla f)g) \end{eqnarray*}

$\Rightarrow$

$[f,[\nabla^2,f]]=-2(\nabla f) \cdot (\nabla f)=-2(\nabla f)^2$

Por favor, corríjame si me equivoco en algún lugar.

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