La definición del haz de líneas $E^k\to P_1(\mathbb{C})$

Question

Aquí hay un ejemplo del libro de análisis diferencial en variedades compactas. Pero me siento confundido al usar la función de transición $g_{0,1}^k$ para definir la variedad de líneas $E^k\to P_1(\mathbb{C})$. ¿Alguien puede explicar sobre esto?

Aquí, $U_{r,n}$ es la unión disjunta de los $r$-planos (subespacios lineales $\mathbb{C}$ de dimensión $r$) en $\mathbb{C}^n$.

Answer 1

Si los haces vectoriales $E$ y $F$ tienen funciones de transición $g_{\alpha\beta}$ y $h_{\alpha\beta}$, entonces $E\otimes F$ tiene funciones de transición $g_{\alpha\beta}h_{\alpha\beta}$. Por lo tanto, el haz $E^k$ tiene funciones de transición $g^k_{\alpha\beta}.

Y para ver por qué las funciones de transición para el haz de línea tautológico $E$ son lo que son, dejemos que $(\ell,v)$ sea un punto en $E$. Así que $v\in\ell.$ En coordenadas homogéneas, $\ell=[z_0,z_1]$ es una línea en $\mathbb{C}^2$ generada por el vector $(z_0,z_1).$ Así que $v=k(z_0,z_1)$ para algún $k\neq 0.

Así que en el parche afín $U_1 = \{[z_0,z_1]|z_0\neq0\},$ con coordenada $z=z_1/z_0$ tenemos una sección nunca nula $e_1\colon\ell\mapsto (1,z)$, así que $v=kz_0e_1$ en la trivialización inducida. Y en el parche afín $U_1 = \{[z_0,z_1]|z_1\neq0\},$ con coordenada $w=z_0/z_1$, nuestra sección no nula es $e_2\colon\ell\mapsto (w,1).$ En esta trivialización, tenemos $v=kz_1e_2.$ Por lo tanto, la transición de $U_0$ a $U_1$, la función de transición es $(z_0/z_1).

Así que $E^k$ tiene funciones de transición $(z_0/z_1)^k.