i) ¿ existe un subconjunto no vacío de enteros $S$, de tal manera que para todos los $a \in S$ existe $b,c \in S$ tal que $a = b + c$ donde $a, b, c$ son distintos números enteros.
Editado para añadir: ii) ¿Puede un $S$ con estas propiedades del ser finito, y también tienen la propiedad de que $a \in S$ implica $-a \notin S$
Esta pregunta está inspirada en otra pregunta, que no ha sido contestado.
He publicado una respuesta a esta pregunta anteriormente, dando un conjunto finito. Esa respuesta fue incorrecta: esta es una respuesta diferente, que contiene los límites inferiores en conjuntos finitos de la clase que usted pide.
Un conjunto S tal que (∀a ∈ S)(∃b,c ∈ S):(b≠c y a = b + c) vamos a llamar a la auto-apoyo: un auto-apoyo conjunto S que es disjunta de −S será fuertemente auto-apoyo.
Proposición 1. Un auto-apoyo conjunto debe contener al menos tres elementos positivos y tres negativos de los elementos.
[Prueba] Lograr la autosuficiencia en el conjunto S es no vacío; porque la propiedad de auto-apoyo es conservado por la negación de los elementos, sin pérdida de generalidad podemos considerar que los grupos que contienen elementos positivos.
El mayor elemento positivo de S sólo se puede formar como una suma de otros dos elementos positivos; por lo tanto, tiene al menos tres elementos positivos 0<c<b<a, tales que a = b + c. El más pequeño elemento positivo no puede ser formada como una suma de pequeños elementos positivos, por lo que S contiene elementos negativos. Por similares argumentos, debe contener al menos tres elementos negativos.
Como el conjunto {-3, -2, -1, 1, 2, 3} se auto-apoyo, esta obligado es óptimo.
Proposición 2. Una fuerza de auto-apoyo conjunto debe contener, al menos, cuatro elementos positivos y cuatro negativos de los elementos.
[Prueba] Supongamos que S es autosuficiente, pero sólo tiene tres elementos positivos 0<c<b<a. Entonces a = b + c. No podemos formulario de b como una suma de c con algún otro elemento positivo de S; a continuación, se sigue que b sólo se puede formar como una suma de a y −c, lo que implica que S no es fuertemente auto-apoyo. Por lo tanto, una fuerza de auto-apoyo conjunto contiene al menos cuatro elementos positivos; y de manera similar para los elementos negativos.
El conjunto más pequeño en flagar la respuesta, {-10, -8, -6, -2, 1, 3, 4, 5}, es, pues, un mínimo tamaño de la fuerza de auto-apoyo set --- y también puede ser el conjunto de elementos de menor valor absoluto.
Una mayor respuesta, la generalización de flagar del ejemplo:
Para cualquier N ≥ 10, existe un conjunto de la clase pide que se contiene en la mayoría de los once elementos (con menos de once en el caso de que N < 13), y con todos los elementos que tienen valor absoluto en la mayoría de N:
{−N, −N+2, −N+4, -2, 1, 3, 4, 5, N−7, N−6, N−5}.
El más corto, el ejemplo presentado por flagar corresponde al caso N = 10.
La clave de esta construcción fue pensar en términos de pequeñas secuencias de casi mutuamente-el apoyo a las subsecuencias. Por ejemplo, la secuencia −N, −N+2, N+4 constan de números enteros que son sumas de sí mismos, además de uno de -2 o 4. Podemos incluir a las 4 en el conjunto de su inclusión en la secuencia 3, 4, 5: podemos apoyar esto incluyendo 1 en el conjunto (donde 1 es la suma de 3 y -2). A continuación solo necesitan una manera de apoyar a -2: esto lo hacemos con la otra larga, que incluye N−6.
Cada vez que tenemos una secuencia corta, tenemos una colección de enteros que es fácil de "apoyo" con sólo un pequeño número de otros enteros. Así que una de las estrategias para la construcción de la auto-apoyo a los conjuntos de números enteros es pensar en términos de una o más secuencias cortas de números enteros, con cada secuencia de trabajo para apoyar a otro.
Sí, usted puede tomar el conjunto de los números enteros entre el $-n$ $n$ incluido para cualquier $n \ge 3$. Aquí $0 = 1 + (-1)$, $1 = 2 + (-1)$ y $x = (x - 1) + 1$$x \ge 2$. Similar fórmulas para los valores negativos.
EDIT: Respuesta para la nueva versión de la pregunta El sistema de la mano:
$$ \{ -22, -20, -18, -16, -14, -12, -10, -2, 1, 3, 7, 8, 15, 23 \} $$
EDIT: Respuesta con 8 elementos. Si agrega -12 a este conjunto se obtendrá conjunto con número impar de elementos. $$ \{ -10, -8, -6, -2, 1, 3, 4, 5 \} $$
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