Demostrando una desigualdad: $\frac{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}{(1+a)(1+b)(1+c)} \ge \frac{1+abc}{2}$

Question

La pregunta es la siguiente: Deja que $a, b, c \ge 0$. Demuestra que $$\frac{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}{(1+a)(1+b)(1+c)} \ge \frac{1+abc}{2}$$

Empecé de la siguiente manera:

(1) Demostrando para una variable- $a$ $$\frac{1+a^2}{1+a} \ge \frac{1+a}{2}$$ Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, $$(1^2+a^2)(1^2 + 1^2) \ge (1\times1 + 1\times a)^2$$ $$\implies (1^2+a^2)(1^2 + 1^2) \ge (1+a)^2$$ $$\implies 2(1+a^2) \ge (1+a)^2$$ $$\implies \frac{(1+a^2)}{(1+a)} \ge \frac{(1+a)}{2} \blacksquare$$

(2) Demostrando para dos variables- $a, b$ $$\frac{(1+a^2)(1+b^2)}{(1+a)(1+b)} \ge \frac{1+ab}{2}$$ Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, $$(1^2 + a^2)(1^2 + b^2) \ge (1 \times 1 + a \times b)^2$$ $$\implies (1+a^2)(1+b^2) \ge (1+ab)^2$$ Supongamos que $(1+ab) \ge \frac{(1+a)(1+b)}{2}$ $$\therefore (1+a^2)(1+b^2) \ge \frac{(1+ab)(1+a)(1+b)}{2}$$ $$\implies \frac{(1+a^2)(1+b^2)}{(1+a)(1+b)} \ge \frac{1+ab}{2} \blacksquare$$ Ahora, supongamos $(1+ab) \le \frac{(1+a)(1+b)}{2}$ Ahora, de caso 1, $\frac{1+a^2}{1+a} \ge \frac{1+a}{2}$ y $\frac{1+b^2}{1+b} \ge \frac{1+b}{2}$ Combinándolos, obtenemos $$\frac{(1+a^2)(1+b^2)}{(1+a)(1+b)} \ge \frac{(1+a)(1+b)}{2} \times \frac{1}{2}$$ $$\implies \frac{(1+a^2)(1+b^2)}{(1+a)(1+b)} \ge \frac{(1+ab)}{2} \blacksquare$$

(3) Demostrando para tres variables- $a, b, c$

Y aquí es donde me quedo atascado con mi método actual. No puedo seguir adelante con esta pregunta. Cualquier ayuda será muy apreciada. Si tienes otros métodos que involucren desigualdades comunes, eso sería muy apreciado también. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

OK... verifica si esto tiene sentido (y no tiene errores...)

$2(1+x^{2})^{3}=(1+x)^{3}(1+x^{3})+(1-x^{3})(1-x)^{3}$

Ahora bien, o bien $x\geq 1$ o $x<1$. En ambos casos, $(1-x^{3})(1-x)^{3}>0$
Por lo tanto, $2(1+x^{2})^{3}\geq (1+x^{3})(1+x)^{3}$

Entonces $2^{\frac{1}{3}} \times \frac{1+x^{2}}{1+x} \geq (1+x^{3})^{\frac{1}{3}$}

Tomando $x=a$, $x=b$ y $x=c$ y multiplicando los resultados juntos:

$\frac{2(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq[(1+a^{3})(1+b^{3})(1+c^{3})]^{\frac{1}{3}}$

Ahora $(1+a^{3})(1+b^{3})(1+c^{3})=(1+a^{3}+b^{3}+c^{3}+(ab)^{3}+(bc)^{3}+(ac)^{3}+(abc)^{3})$

Por la desigualdad de AM-GM, esto es $\geq(1+3abc+3(abc)^{2}+(abc)^{3})=(1+abc)^{3}$

Entonces $\frac{2(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}{(1+a)(1+b)(1+c)} \geq 1+abc$

Y el resultado sigue.

Edición por si acaso no es obvio: la igualdad se cumple si y solo si $a=b=c=1$