![semi-circles]()
Veamos la prueba general para cualquier par de semicírculos $R_1$ y $R_2$ tales que $R_1 < R_2$.
Considera $\triangle GHI$ y sea $Y = |GI|$
Por Pitágoras:
$$ Y = \sqrt{(R_1 + R_2)^2 - R_2^2} = \sqrt{R_1^2 + 2R_1R_2} \tag{1}$$
Ahora observa que $|AD|$ es una cuerda del semicírculo que encierra de radio $R_3$.
Por lo tanto, una línea perpendicular desde su punto medio $K$ sobre el diámetro del semicírculo que encierra $|AF|$ intersectará este último en su punto central $L$ de manera que $|AL| = R_3$.
Así que si $Z = |AD|$ y $ \angle JAD = \theta$ tenemos
$$ Z = \sqrt {(R_1 + R_2 + Y)^2 + R_2^2)} \tag{2}$$
Dado que $$ \cos \theta = \frac{R_1 + Y + R_2}{Z}$$
$$R_3 = \frac{Z}{2\cos{\theta}} = \frac{Z/2}{(R_1+R_2+Y)/Z} = \frac{Z^2/2}{R_1+R_2+Y}$$
Aplicando (2): $$R_3 = \frac{1}{2}[\frac{(R_1+R_2+Y)^2 + R_2^2}{R_1+R_2+Y}] = \frac{1}{2}[R_1+R_2+Y + \frac{R_2^2}{R_1+R_2+Y}]$$
Notando que $$\frac{R_2^2}{R_1+R_2+Y} = R_2^2 [\frac{1}{R_1+R_2+Y} \frac{R_1+R_2-Y}{R_1+R_2-Y}] = R_2^2 [\frac{R_1+R_2-Y}{(R_1+R_2)^2 - Y^2}]$$
Y dado que a partir de (1): $$ Y^2 = R_1^2 + 2R_1R_2$$
$$\frac{R_2^2}{R_1+R_2+Y} = R_2^2 [\frac{R_1+R_2 -Y}{\require{cancel}\cancel{R_1^2} + \require{cancel}\cancel{2R_1R_2} +R_2^2 - \require{cancel}\cancel{R_1^2} - \require{cancel}\cancel{2R_1R_2}}] = R_1+R_2-Y$$
Por lo tanto $$R_3 = \frac{1}{2}[R_1+R_2+Y + R_1+R_2-Y] = R_1 + R_2$$
En cuanto a la prueba de la recta de la cuerda $|AD|$ y la línea que une los centros de los dos semicírculos $|GH|$ encontrándose en el punto de contacto, podemos ver en mi mal diagrama que esto debe ser así, ya que $\triangle AGX $ y $\triangle DHX $ son triángulos similares con una razón de sus lados de $R_1:R_2$.
Me parece que esta relación solo se puede mantener si $|GX| = R_1$ y $|HX| = R_2$ - lo que, por supuesto, significa que $|AD|$ pasa por el punto tangente de los semicírculos.
Lo curioso para mí es que tener el semicírculo más grande con el lado ancho hacia arriba no ahorra espacio en comparación con tenerlo con el lado ancho hacia abajo. La respuesta de Pranay solo me satisface parcialmente en esto. Podría ser mejor simular una rotación del semicírculo más grande alrededor de un eje horizontal pasando por el punto de contacto. Después de 90 grados de giro, se necesitará más espacio horizontal por el semicírculo más grande, ya que su parte más ancha está ahora apoyada sobre el semicírculo más pequeño.
Esto me recuerda cómo ambos flancos de un patrón de zapato no son demasiado diferentes en tamaño a pesar de la clara diferencia en la forma de los dos lados de un último de zapato. Durante siglos, esta realidad fue explotada por fábricas de zapatos: obtenían una especie de promedio gráfico de los dos patrones (la llamada mean forme) y explotaban la elasticidad del cuero para compensar las diferencias. Este proceso también les permitió necesitar solo un dado de prensado para cortar los flancos derecho e izquierdo de una piel para cada combinación de estilo/tamaño de zapato, lo que representaba un ahorro significativo en costos de herramientas. Hoy en día, las cuchillas de contorno guiadas por láser cortan los patrones de zapatos de una piel, pero al ver los zapatos los patrones reales parecen diseñados de la misma manera que antes!
En el caso anterior, los dos arreglos de semicírculos están exactamente envueltos por el mismo semicírculo envolvente. Esto me hace preguntarme si tal idea podría ser explotada en el diseño de cosas de precisión como engranajes o rodamientos - cosas que aún no están obsoletas debido a los avances en sistemas nanomecánicos y biomecánicos.
