Función holomorfa en el plano superior medio debe ser racional

Question

Sea $f$ holomorfa en el semiplano superior y continua en $\mathbb{R}$, con $|f(r)|=1$ para todo $r\in\mathbb{R}$. Demuestra que $f$ es racional.

Estaba jugando con mapas conforme y $\overline{f(\bar{z})}$, pero me gustaría una pista sobre cómo surge exactamente la "racionalidad". ¿Está involucrado el Lema de Schwarz?

Answer 1

Creo que también quieres que $\lim_{r \to +\infty} f(r)$ y $\lim_{r \to -\infty} f(r)$ existan y sean iguales. El principio de reflexión de Schwarz muestra que $f$ es meromorfa en $\mathbb C$ con $f(\overline{z}) = 1/\overline{f(z)}$. Lo mismo se aplica a $f(1/z)$. Por lo tanto, $f$ es una función analítica de la esfera de Riemann en sí misma, y dichas funciones son racionales.