Un punto en el cierre débil pero no en el cierre secuencial débil

Question

Estoy tratando de encontrar una prueba de este contraejemplo de von Neumann:

Sea $x_{mn}\in \ell^2$ definido por $$x_{mn}(m)=n \quad,\quad x_{mn}(n)=m \quad,\quad x_{mn}(k)=0 \hbox{ en otro caso,} $$ y sea $S=\{ x_{mn} : m, n\geq 1\}$. Von Neumann muestra que $0$ está en el cierre débil de este conjunto pero ninguna secuencia en $S$ converge débilmente a $0$.

Answer 1

Como señaló Aaron, el ejemplo de "von Neumann" es realmente un no ejemplo. Para salvar el problema, reexpréselo como: construir una secuencia en $\ell_2$ que tenga $0$ en su clausura débil, pero ninguna subsecuencia converja débilmente a $0$. Primero observe que tal secuencia debe ser acotada (por Eberlein-Smulian). En segundo lugar, observe que es suficiente tener para cada $\epsilon > 0$ una subsecuencia (necesariamente acotada) que converge débilmente a un punto cuya norma sea como máximo $\epsilon$ (y, por supuesto, ninguna subsecuencia que converja débilmente a $0$). Con estas "pistas", es fácil construir un ejemplo: Sea $x_{nm}(k)$ igual a $1/n$ si $k=1$, $n$ si $k=m>1$, y $0$ en otro caso. Con la definición "obvia", $0$ está en la clausura secuencial débil de $x_{nm}$ pero no en la clausura secuencial débil de $1$. A partir de este comienzo, es natural definir para cada ordinal contable $\alpha$ la clausura secuencial débil de $\alpha$ y plantear un problema evidente. Otro problema (no muy difícil una vez que se comprende el ejemplo anterior) es construir una secuencia en $\ell_2$ cuyas normas tienden a infinito y sin embargo, $0$ está en la clausura débil de la secuencia.

Otro ejemplo sorprendente de los fenómenos buscados por el OP es el siguiente. Tome una secuencia densa en la esfera unitaria de $\ell_1$. Entonces, $0$ está en la clausura débil de la secuencia pero ninguna subsecuencia converge débilmente a $0$ porque $\ell_1$ tiene la propiedad de Shur.

Answer 2

No creo que $0$ sea un punto de acumulación débil de este conjunto. Por ejemplo, considera $y \in \ell^2$ definido por $$y(k) = 1 / k.$$ Entonces tenemos, para cualquier $m, n$ que $$\langle x_{m, n}, y \rangle = m / n + n / m \geq 2.$$ Por lo tanto, el entorno débil $$ \{x \in \ell^2: |\langle x, y\rangle| < 1\} $$ de $0$ no interseca a $S$.