Mostrar que toda función Lebesgue integrable puede ser aproximada en norma y casi en todas partes por una secuencia de funciones continuas.

Question

Demuestra que toda función integrable de Lebesgue puede ser aproximada en norma y casi en todas partes por una secuencia de funciones continuas.

No estoy seguro por dónde empezar con esto. La pregunta realmente no tiene sentido para mí, así que si alguien pudiera comenzar explicando eso, estaría muy agradecido.

Answer 1

Supongamos que $f \in L^1(\mathbb{R})$. Para todo $\epsilon > 0$ existe una función simple $g=\sum_{n=1}^{N}a_n\chi_{E_n}$ tal que $\|f-g\|_{L^1} < \epsilon/3$. Supondré que puedes demostrar eso usando una aproximación estándar.

Entonces puedes obtener una demostración del resultado que deseas mostrando que una función característica $\chi_{E}$ de un conjunto $E$ de medida finita puede ser aproximada a cualquier precisión deseada por una función continua.

Sea $E$ un conjunto de medida finita de Lebesgue, y sea dado $\epsilon > 0$. Entonces hay una colección finita o numerable de intervalos abiertos $I_n=(a_n,b_n)$ tal que $E\subset\bigcup_n I_n$ y $$ 0 < m|E| < \sum_{n}m|I_n| < m|E| +\epsilon/3. $$ Elige $\epsilon_n$ tal que $\sum_n \epsilon_n < \epsilon/3$, y define una función continua $f_n$ que sea $1$ en $[a_n,b_n]$, que sea $0$ en $\mathbb{R}\setminus[a_n-\epsilon_n,b_n+\epsilon_n]$ y que sea lineal entre ellos. Entonces $$ \int|f_n-\chi_{[a_n,b_n]}|dx = \int f_n-\chi_{[a_n,b_n]} \le \epsilon_n. $$ Por lo tanto, $$ 0 \le \chi_{E} \le \sum_n \chi_{[a_n,b_n]} \le \sum_n f_n, $$ y \begin{align} \int |\sum_n f_n - \chi_{E}|dx & = \int \sum_n f_n-\chi_{E} dx \\ & = \int \sum_n (f_n-\chi_{[a_n,b_n]})+(\sum_{n}\chi_{[a_n,b_n]}-\chi_{E})dx \\ & = \sum_n \int (f_n-\chi_{[a_n,b_n]})+\sum_n m|I_n|-m|E \\ & \le \sum_n \epsilon_n + \frac{\epsilon}{3} < \frac{2\epsilon}{3}. \end{align> Usando lo anterior, entonces puedes truncar la suma $\sum_n f_n$ a una suma finita $\sum_{n=1}^{N}f_n$ tal que $\|\sum_{n=1}^{N}f_n - \chi_{E}\| < \epsilon$. La suma $F=\sum_{n=1}^{N}f_n$ es continua, lo que da existencia a una función continua $F$ tal que $\|F-\chi_{E}\|< \epsilon$ si $E$ es un conjunto de medida finita, lo cual completa la prueba.