Dos números positivos x e y, cada uno de los cuales no excede dos, se toman al azar, la probabilidad de que $xy≤1$ y $\frac{y}{x}≤2$ es:

Question

Pregunta: Se toman al azar dos números positivos x e y, cada uno de los cuales no excede de dos, la probabilidad de que $xy1$ y $\frac{y}{x}2$ sea :

Respuesta: La respuesta a esta pregunta se da como $$\frac{3\ln{2}+1}{8}$$

Mi enfoque: Descubrí que necesitaríamos aplicar el método de áreas para encontrar esta probabilidad, así que necesito encontrar el área delimitada entre $x2$, $y2$ y las dos condiciones dadas en la pregunta (que son una línea recta y una hipérbola rectangular respectivamente), graficarlas nos da,

,

Ahora, para encontrar el área delimitada entre la región sombreada común a las tres, realicé la siguiente integración definida, $$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{2-2x}\cdot{dx}+\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{2}}{\frac{1}{x}-2x}\cdot{dx}$$ Al resolverlos me da $$\frac{\ln{2}+1}{2}$$ No logro entender dónde me equivoqué, por favor ayúdame.

Answer 1

No entiendo tu cálculo, en la práctica lo que debes hacer es lo siguiente: $$p = \frac{\int_0^{\frac1{\sqrt2}}2x\, dx \space + \int_{\frac1{\sqrt2}}^2 \frac1{x}\, dx}{4}=\frac{3\ln2+1}{8}$$ , sin mucho esfuerzo. ¡Quieres el área verde del cuadrado, y esa es exactamente el numerador!