Integración por partes - $\int \frac{x}{(x+1)^2} dx$

Question

He estado tratando de evaluar la siguiente integral utilizando la integración por partes, pero sigo obteniendo la respuesta incorrecta.

$$\int \frac{x}{(x+1)^2} dx$$

Elijo $u=x$, $dv=\frac{1}{(x+1)^2}dx => du=dx$, $v=\frac{-1}{x+1}$. La fórmula de integración por partes, $\int udv = uv - \int vdu$ da como resultado

$$\int \frac{x}{(x+1)^2} dx = \frac{-x}{x+1} - \int \frac{-1}{x+1}dx = \frac{-x}{x+1}+ ln(x+1)+C$$

Sin embargo, la integral debería ser

$$\frac{1}{x+1} + ln(x+1) + C$$

¿Dónde me equivoqué? Esta es mi primera pregunta en el intercambio de matemáticas, así que por favor, sean amables.

Answer 1

No hiciste nada mal. Simplemente nota,

$$\frac{-x}{x+1}=\frac{-x-1+1}{x+1}$$

$$=\frac{1}{x+1}-1$$

Answer 2

¿Por qué por partes? $$\frac{x}{(x+1)^2}=\frac{x+1-1}{(x+1)^2}=...$$ ¡y hemos terminado!

Answer 3

La sustitución más simple $u=x+1$ a menudo se pasa por alto.

$\displaystyle \int \dfrac{x}{(x+1)^2}\mathop{dx}=\int\dfrac{u-1}{u^2}\mathop{du}=\int\left(\dfrac 1u-\dfrac 1{u^2}\right)\mathop{du}=\ln|u|+\dfrac 1u=\ln|x+1|+\dfrac 1{x+1}+C$

Answer 4

$$g' = (\frac{-x}{x+1}+ \ln(x+1)+C)'= \frac {-1(x+1)+x}{(x+1)^2}+\frac{1}{x+1}=\frac{x}{(x+1)^2}$$

Su respuesta es correcta.