Número de partículas de Einstein que experimentaron una cierta explicación de cambio

Question

Estoy leyendo un manual de Métodos Estocásticos de Gardiner y me pregunto sobre el significado de lo siguiente (este es el comienzo del capítulo):

$dn = n \phi(\Delta) d \Delta$

Esto se obtiene de la siguiente manera (mirando las partículas suspendidas en un líquido):

Hay $n$ partículas suspendidas en un líquido. Elegimos el tiempo, $\tau$ en el que los movimientos de la partícula única son independientes de sus propios movimientos en el paso de tiempo anterior $\tau$. Los movimientos de todas las partículas también son independientes entre sí. Introducimos la cantidad $\Delta$, que es el movimiento en la dirección $x$ en el tiempo $\tau$ (esta cantidad puede ser positiva o negativa). Hay una cierta frecuencia en estos movimientos, por lo que el número $dn$ de partículas que experimentan un movimiento en el rango $[\Delta, \Delta + d\Delta]$ es la ecuación que he escrito inicialmente.

Observo $\phi(\Delta)$ como la probabilidad de que una partícula experimente un movimiento de tamaño $\Delta$, entonces se espera que el número de partículas que experimentaron dicho movimiento sea $n\phi(\Delta)$ y no estoy seguro de dónde entra el $d\Delta$ en eso. Además, $\Delta$ ya es un cambio en la dirección $x$ de la posición de la partícula, entonces ¿$d\Delta$ es como un cambio del cambio? Así que toda la confusión que estoy experimentando proviene de ese último $d\Delta$ en esa primera ecuación.

Answer 1

Si eliges un número entero entre 1 y 10, la probabilidad para cada uno es 1/10.

Ahora elige un valor real entre 1 y 10, ¿cuál es la probabilidad para 3? ¡Es cero! Sin embargo, puedes calcular la probabilidad de que tu número esté entre 2.9 y 3.1, esto tiene un significado claro.
Para describir esto, se utiliza una densidad de probabilidad. Entonces la probabilidad para el intervalo anterior es $0.2\cdot\phi(3)$. Esta es una aproximación en la medida en que la densidad de probabilidad está cambiando sobre el intervalo, para ser preciso tendrías que integrar.

Eso es lo que está sucediendo en tu fórmula. $\Delta$ describe un cambio, pero es de otra manera una variable normal. Para obtener la probabilidad de que una partícula esté en un intervalo $\mathrm d\Delta$ alrededor de $\Delta$, tomas $\phi(\Delta)\mathrm d\Delta$. Al multiplicar por $n$, obtienes el número de partículas en ese intervalo.