Esta no es una respuesta completa, simplemente un comentario extendido. Escribiré $T^S$ para el conjunto de funciones de $S$ a $T$. En general, no creo que exista una caracterización obvia de $T^S/{\sim}$, excepto tal vez en el caso finito. Permítanme ilustrar con algunos ejemplos.
Consideremos el conjunto $2^3$ de funciones de un conjunto de tres elementos $\{0,1,2\}$ a un conjunto de dos elementos $\{0,1\}$. Se puede pensar en tal función como una palabra binaria con exactamente tres letras: por ejemplo, la función que mapea $0 \mapsto 0$, $1 \mapsto 0$ y $2 \mapsto 1$ se puede pensar como la palabra $001$. En este caso, tenemos dos clases de equivalencia, a saber, las funciones constantes y las no constantes: $$ 2^3/{\sim} = \{\{000,111\},\{001,010,011,100,101,110\}\}.$$
Observen que en este ejemplo simple ya vemos que existen más de dos fibras distintas: tenemos por ejemplo $\operatorname{fibra}(000) = \{\{1,2,3\},\emptyset\}$, $\operatorname{fibra}(001) = \{\{1,2\},\{3\}\}$ y $\operatorname{fibra}(010) = \{\{1,3\},\{2\}\} . Así que parece que tu afirmación no se sostiene.
No he trabajado todos los detalles, pero creo que podemos entender el caso finito de la siguiente manera. Consideremos el conjunto $m^n$ de funciones de un conjunto de $m$ elementos a un conjunto de $n$ elementos. Como antes, un elemento de $m^n$ puede ser considerado como una palabra de longitud $n$ en las letras $\{0,1,\ldots,m-1\}$. Existe una acción del grupo simétrico producto $S_n \times S_m$ en $m^n$ dada por el siguiente procedimiento: un elemento de $S_n$ permuta las letras de la palabra en $m^n$, y luego un elemento de $S_m$ permuta los símbolos pertenecientes a $\{0,1,\ldots,m-1\}$ que aparecen en la palabra. Creo que las clases de equivalencia en $m^n$ corresponden precisamente a las órbitas bajo esta acción: $$ (m^n/{\sim}) \cong (m^n/(S_n \times S_m)).
Como ejercicio/verificación de cordura, se puede mirar el caso $3^3$ y comprobar que hay tres clases de equivalencia: las funciones constantes, las biyecciones y el resto. Estas clases de equivalencia tienen cardinalidades respectivas $3$, $6$ y $18$. Observen que estos números dividen a $36 = 3! \times 3! = \lvert S_3 \times S_3 \rvert$, lo cual tiene sentido si nuestra afirmación se cumple: por ejemplo, el estabilizador de una función que pertenece al "resto" (es decir, no es constante ni una biyección), digamos $001$, consiste exactamente en $(\mathit{id},\mathit{id}) \in S_3 \times S_3$ y $((12),\mathit{id}) \in S_3 \times S_3$, de modo que la órbita de $001$ tiene cardinalidad $\lvert S_3 \times S_3 \rvert/\operatorname{Stab}(001) = 36/2 = 18$.
Finalmente, aquí hay algo para reflexionar en el caso infinito. Sean $V$, $W$ espacios vectoriales de dimensión finita. En álgebra lineal, aprendemos que dos mapas lineales $f,g:V \to W$ son equivalentes de la forma que propones (pero bajo el requisito más estricto de que $\phi$ y $\rho$ sean lineales) si y solo si $\operatorname{rango}(f) = \operatorname{rango}(g)$. Así, bajo esta restricción adicional de linealidad, vemos que hay finitas clases de equivalencia, y además estas clases de equivalencia están clasificadas por un número natural. Sin embargo, si eliminamos la linealidad y trabajamos en la categoría de conjuntos, no tengo ni idea de por dónde empezar a analizar el problema en esta cantidad de generalidad. Quizás sea más fácil si primero restringimos nuestra atención a conjuntos contables infinitos.
