¿Para qué valores de $x \in I$ es $(f_n)$ diferenciable término por término?

Question

Deja que $f_n(x) = \frac{1}{n}e^{-nx}$ en $x\in[0,1] =I$.

1. Discute la convergencia puntual y uniforme de $(f_n)$ en $I$.
2. ¿Para qué valores de $x \in I$ es $(f_n)$ diferenciable término a término?

Mi intento:

1.

Convergencia Puntual:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$ para todo $x \in I$.

Por lo tanto, $(f_n)$ converge puntualmente a $f(x)=0$ en $I$.

Convergencia Uniforme:

$\|f_n-0\| = \sup \bigg\{\bigg|\frac{1}{n}e^{-nx} \bigg| : x \in [0,1] \bigg\} = \bigg| \frac{1}{n} \bigg| = \frac{1}{n} \to 0$ a medida que $n \to \infty$.

Por lo tanto, $(f_n)$ converge uniformemente a $f(x) = 0$ en $I$.

¿Es esto correcto?

2.

Esta es la pregunta en la que me quedé atascado.

Sé que, para que $(f_n)$ sea diferenciable término a término,

• $(f_n)$ debe converger puntualmente

• $f'_n$ debe ser continuo y

• $(f'_n)$ debe converger uniformemente.

Sin embargo, esto no ocurre en todo el intervalo $I = [0,1]$. ¿Podría alguien por favor mostrarme cómo puedo encontrar los valores de $x$ en $I$ para los cuales esto es cierto?

Answer 1

$f'_n(x)=e^{-nx}$ es una serie geométrica que converge uniformemente en $[a,1]$ para $0