cálculo de $\int_{0}^{1}\tan^{-1}(1-x+x^2)dx$

Question

Calcular la integral definida $$ \int_{0}^{1}\tan^{-1}(1-x+x^2)\,dx $$

Intento fallido:

Dejemos que $1-x+x^2=t$ . Entonces

$$ \begin{align} (2x-1)\,dx &= dt\\ dx &= \frac{1}{(2x-1)}dt \end{align} $$

Cambiando los límites de integración, obtenemos

$$\int_{1}^{1}\tan^{-1}(t)\cdot \frac{1}{(2x-1)}dt = \int_{1}^{1}\tan^{-1}(t)\cdot f(t)dt = 0 $$

donde $f(t)=\frac{1}{(2x-1)}$ .

¿Es cierto que $\int_{a}^{a}f(x)dx = 0$ ? Si no es así, ¿dónde me he equivocado en mi intento de solución?

Answer 1

SUGERENCIA:

Como $\displaystyle 1-x+x^2=\frac{(2x-1)^2+3}4>0$ de verdad $x,$

utilizando este , $\displaystyle \tan^{-1}(1-x+x^2)=\cot^{-1}\left(\frac1{1-x+x^2}\right)$

Ahora, sabemos $\displaystyle\cot^{-1}\left(\frac1{1-x+x^2}\right)=\frac\pi2-\tan^{-1}\left(\frac1{1-x+x^2}\right)$

Otra vez, $\displaystyle\tan^{-1}\left(\frac1{1-x+x^2}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{x+1-x}{1-x(1-x)}\right)=\tan^{-1}x+\tan^{-1}(1-x)$

Desde este la última identidad se cumple si $\displaystyle x(1-x)\le1$ lo cual es cierto ya que $\displaystyle x(1-x)=\frac{1-(2x-1)^2}4\le \frac14$ de verdad $x$

Por último, como $\displaystyle \int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx,$

$\displaystyle \int_0^1\tan^{-1}(1-x)dx=\int_0^1\tan^{-1}\{1-(\underbrace{1+0-x})\}dx=\int_0^1\tan^{-1}xdx$

Answer 2

Aunque la sugerencia de lab bhattacharjee es realmente excelente, también es quizás demasiado intelectual para que muchos estudiantes se den cuenta a menos que se les indique, así que me gustaría ofrecer una sugerencia alternativa basada en métodos estándar en lugar de "trucos".

Una pista: Integración por partes,

$$\int\tan^{-1}{\left(1-x+x^2\right)}\,dx=x\tan^{-1}{\left(1-x+x^2\right)}-\int x\cdot\frac{-1+2x}{\left(1-x+x^2\right)^2+1}dx\\ =x\tan^{-1}{\left(1-x+x^2\right)}-\int\frac{x\left(2x-1\right)}{\left(1-x+x^2\right)^2+1}dx.$$

A continuación, considera el uso de fracciones parciales para evaluar esta nueva integral.