Mostrando que $\Bbb R^2/\Bbb Z^2$ es homeomorfo a $S^1 × S^1.$

Question

Demuestra que $\Bbb R^2/\Bbb Z^2$ es homeomorfo a $S^1 × S^1.$

$\textbf {Mi intento} :$ Considera la función $p : \mathbb R^2 \longrightarrow S^1 \times S^1$ definida por $p(x,y) = (e ^{2 \pi i x}, e^{2 \pi i y}),$ $(x,y) \in \mathbb R^2.$ Entonces es fácil ver que $p$ es continua y sobreyectiva. Además, $$p^{-1} \{ (e^{2 \pi i x}, e^{2 \pi i y}) \} = \{(x + m, y + n)\ |\ m, n \in \mathbb Z \}$$ que es la órbita de $(x,y)$ bajo la acción de $\mathbb Z^2$ en $\mathbb R^2.$ Por lo tanto, por la propiedad universal de la topología de cociente, $p$ inducirá un mapa biyectivo y continuo $q : \mathbb R^2 / \mathbb Z^2 \longrightarrow S^1 \times S^1.$ Dado que $[x,y] = [x - [x], y - [y]]$, se sigue que $\mathbb R^2 / \mathbb Z^2 = [0,1]^2/\mathbb Z^2.$ Dado que $[0,1]^2$ es compacto, se deduce que $\mathbb R^2/ \mathbb Z^2$ también es compacto. Por lo tanto, $q$ es un homeomorfismo.

¿Es correcto mi intento? Creo que también necesito mostrar que el mapa de $\mathbb R^2$ a $\mathbb R^2 / \mathbb Z^2$ es un mapa cociente. Entonces podemos tomar la composición $$[0,1]^2 \hookrightarrow \mathbb R^2 \xrightarrow{\text {mapa cociente}} \mathbb R^2 / \mathbb Z^2$$ ¿No es así? ¿Podría alguien darme alguna sugerencia al respecto?

Gracias por leer.

Answer 1

Esta es la misma pregunta que Demuestra que $\Bbb{R}^2/\Bbb{Z}^2\approx S^1\times S^1$.

Tu enfoque es correcto, pero necesita un poco de aclaración. Primero observa que escribir $\Bbb R^2/\Bbb Z^2$ es algo ambiguo: podría denotar

1. el conjunto cociente de $\Bbb R^2$ colapsando el subespacio $\Bbb Z^2$ a un punto.

2. el grupo cociente cuyos elementos son los cocientes $(x,y) + \Bbb Z^2$.

Aquí definitivamente necesitamos la interpretación 2. A través del homomorfismo cociente $p : \Bbb R^2 \to \Bbb R^2/\Bbb Z^2$ este conjunto recibe la topología cociente. Has mostrado correctamente que obtienes una biyección continua $q : \mathbb R^2 / \mathbb Z^2 \longrightarrow S^1 \times S^1$. Incluso es un isomorfismo de grupos, pero eso es irrelevante.

Creo que la ecuación $\mathbb R^2 / \mathbb Z^2 = [0,1]^2/\mathbb Z^2$ es confusa. Lo que quieres decir es ciertamente $p([0,1]^2) = \mathbb R^2 / \mathbb Z^2$. Esto es verdad y prueba que $\mathbb R^2 / \mathbb Z^2$ es compacto.