¿Por qué el teorema de Pitágoras se trata todo de 2?

Question

Todos sabemos que $a^2 + b^2 = c^2$ en un triángulo rectángulo. Sí. Funciona. Se puede demostrar usando el área del cuadrado y todo. Pero mi pregunta es: ¿por qué?

¿Qué hace que el número 2 sea tan especial, que define la norma 2, se involucra en todas partes en el espacio vectorial, e incluso en estadísticas cuando hablamos de variables aleatorias independientes son casi como vectores perpendiculares y su varianza simplemente. (La última parte podría ser un poco exagerada por mi parte.)

Sé que esto se siente casi como preguntar por qué la gravedad es 9.8. Simplemente lo es. No es porque 9.8 sea un número perfecto en teoría de números o algo así. Pero nuestra insistencia en usar el cuadrado debe venir de alguna parte. Para mí, la única conexión natural del 2 o el cuadrado de cualquier cosa debe estar vinculada al área de un cuadrado en una superficie plana. ¿Por qué no es $a^4 + b^4 = c^4$? ¿Es ese un peor mundo para vivir? En otras palabras, ¿cuál es la razón de principio fundamental por la que la ley del cuadrado surge tan a menudo si el único significado de principio es algo multiplicado por sí mismo?

Esta pregunta surge de mi larga historia de no entender por qué las estadísticas a menudo usan la desviación estándar y no la distancia promedio. Algunas personas dicen que queremos enfatizar los valores atípicos, por lo que la varianza es la causa raíz (¿pero por qué?) y algunas personas dicen que la desviación estándar tiene propiedades agradables (precisamente por el 2 en la ley del cuadrado). De alguna manera, siento que todo se reduce al teorema de Pitágoras. ¿Pero por qué?

Al final, solo puedo establecer cómodamente que el cuadrado es algo multiplicado por sí mismo, o el área de un cuadrado en una superficie plana. ¿Pero qué tienen que ver la longitud de los lados en un triángulo rectángulo con ellos? ¿Alguna explicación que no sea: simplemente funciona? ¿Por qué funciona el teorema de Pitágoras, que sin importar la dimensión, si nos interesa la distancia, todavía los elevamos al cuadrado?

Answer 1

Este es demasiado largo para un comentario pero señala el papel especial de $2$.

La fórmula de distancia usual establece que la distancia entre dos puntos $x = (x_1,x_2)$ y $y = (y_1,y_2)$ es $$d(x,y) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$$

Para cualquier $p \ge 1$ puedes definir de manera similar una distancia $p$ $$d_p(x,y) = \sqrt[p]{|x_1 - x_2|^p + |y_1 - y_2|^p}$$ y también $$d_\infty(x,y) = \max\{|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|\}.$$ Requiere un poco de trabajo, pero puedes demostrar que cada $d_p$ es de hecho una métrica, de manera que satisface la desigualdad triangular $$d_p(x,y) \le d_p(x,z) + d_p(y,z)$$ para cualquier tres puntos $x,y,z$.

Si $C$ es una curva suave en el plano puedes usar $d_p$ para definir una longitud de arco $\ell_p(C)$. Deja que $C_p$ denote el círculo unitario en la métrica $p$: $$C_p = \{(x_1,x_2) : |x_1|^p + |x_2|^p = 1\}$$. El perímetro de $C_p$ es $\ell_p(C_p)$, y el diámetro de $C_p$ se puede calcular usando $d_p$. Esto proporciona una definición de $\pi$ que depende de $p$: $$\pi_p = \frac{\ell_p(C_p)}{\mathrm{diam}\ C_p}$$

¿Qué tiene de especial $p=2$? Trata de demostrar que $$\pi_2 = \min_{1 \le p \le \infty} \pi_p$$ y $p \not= 2$ implica $\pi_p > \pi_2$. Es decir, $\pi_2$ es el valor mínimo único de $\pi_p$.

Answer 2

Hay muchas formas de verlo. Una respuesta es que proviene de productos internos (también conocidos como productos punto, también conocidos como productos escalares). El Teorema de Pitágoras es válido en cualquier espacio donde existan productos internos. Funciona en el plano, en el espacio, en el hiperespacio de cuatro dimensiones, incluso en construcciones extrañas como los espacios de Hilbert. Todo lo que necesitas es un producto interno.

Sean $ \mathbf a, \mathbf b$ y $\mathbf c$ vectores con $\mathbf a + \mathbf b = \mathbf c$. Entonces tenemos:

$$ \mathbf a + \mathbf b = \mathbf c $$ $$ (\mathbf a + \mathbf b) \cdot (\mathbf a + \mathbf b) = \mathbf c \cdot \mathbf c $$ $$ \mathbf a \cdot (\mathbf a + \mathbf b) + \mathbf b \cdot (\mathbf a + \mathbf b) = \mathbf c \cdot \mathbf c $$ $$ \mathbf a \cdot \mathbf a + 2 (\mathbf a \cdot \mathbf b) + \mathbf b \cdot \mathbf b = \mathbf c \cdot \mathbf c $$

Cuando $\mathbf a$ y $\mathbf b$ son perpendiculares, tenemos $ \mathbf a \cdot \mathbf b = 0$, y esto se convierte en:

$$ \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b = \mathbf c \cdot \mathbf c $$

y hemos terminado.

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Así que necesita cuadrados porque los productos internos son el producto de dos vectores. No funcionan con cubos, porque no hay una buena forma de multiplicar tres vectores juntos: puedes intentarlo, pero con productos internos descubrirás que en general $(\mathbf a \cdot \mathbf a) \cdot \mathbf b \neq \mathbf a \cdot (\mathbf a \cdot \mathbf b)$, por lo que los dos lados de la ecuación no se cancelan.

Answer 3

Su pregunta "¿por qué esto, no eso?" piensa demasiado pequeño. Una versión más débil del teorema de Pitágoras afirma que existe una función $f$ para la cual cada triángulo rectángulo en un plano euclidiano tiene catetos catetos $a,\,b$ e hipotenusa $c$ que satisfacen $f(a)+f(b)=f(c)$. Que exista tal $f$ es lo suficientemente notable, pero incluso si aceptas que lo hace, la pregunta no debería ser "¿por qué se puede tomar como $x^2$ (o $2x^2$, etc.) en lugar de $x^p$ para algún $p\ne2$?", sino "¿por qué se puede tomar como $x^2$ en lugar de casi cualquier otra cosa?"

Volveremos a eso. La longitud máxima $d$ de un hiperprisma de $n$ dimensiones de longitudes de lado $x_i$ satisface $\sum_{i=1}^nf(x_i)=f(d)$. Para probar esto por inducción, nota que en el caso $n=k+1$ esta diagonal es la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos son un lado y la diagonal más larga de un hiperprisma ortogonal a ese lado, en un subespacio de dimensión $k$. Así que el caso de $2$ dimensiones es la única parte difícil.

Finalmente volvamos a ello. Traza una perpendicular desde la hipotenusa al vértice opuesto. Al perseguir ángulos, esto divide el triángulo en dos triángulos rectángulos similares al original, de hipotenusas $a,\,b$. Dado que el área está en $2$ dimensiones, se escala como el cuadrado del lado. Dado que el área original se ha dividido en dos piezas, se puede tomar $f(x)=x^2$.

Así que la respuesta corta a tu pregunta es que $\sum_{i=1}^nf(x_i)+f(x_{n+1})$ especifica el paso inductivo en términos del caso $n=2$ (que también es el caso base de la inducción), y en ese caso podemos probar que la cantidad aditiva que he denominado $f$ es un área, y por lo tanto es cuadrática.

Observa que esta prueba del teorema de Pitágoras planar dice "las áreas son aditivas, por lo tanto los lados al cuadrado son aditivos". Por lo general, la gente demuestra la segunda parte como quiera, luego nota la implicación del área. El argumento anterior, que he visto atribuido a Einstein, invierte esto, y encuentra una prueba sorprendentemente simple de que las áreas son aditivas, por eso es una de mis pruebas favoritas del teorema.

Y si aún no crees que estos puntos sean lo suficientemente fundamentales, el argumento para la primacía de $n=2$ - que hace que funcione el paso inductivo - se puede reformular como la adición siendo una operación binaria que generalizamos a $n$ sumandos. Este argumento "la adición tiene $2$ argumentos, por lo tanto usa $p=2$" es muy similar al punto comentado por @OrangeMushroom.

Answer 4

Por lo que vale: el exponente $2$ exhibe isotropía.

Considere el vector de posición $(x,y,z)$, y el lugar de los puntos a igual distancia del origen, que forman una superficie esférica, de ecuación implícita.

$$x^2+y^2+z^2=d^2.$$

La normal a esta superficie está dada por el gradiente $2(x,y,z)$, que está alineado con el vector de posición. Esto no ocurre con otros exponentes.

Answer 5

Respuesta parcial.

El Teorema de Pitágoras es un teorema sobre áreas de cuadrados. Puedes demostrarlo sin elevar al cuadrado nada:

El exponente $2$ aparece porque las áreas de figuras similares son proporcionales a los cuadrados de cualquier dimensión lineal. Esa es una propiedad fundamental del área, no una elección arbitraria que hicieron los matemáticos.

Aquí está la demostración de Euclides.

Puedes encontrar útil esta respuesta: ¿Es el Teorema de Pitágoras un teorema?

(Imagen de https://www.nagwa.com/en/lessons/436176831673/.)