Para responder a tu pregunta del título, la velocidad de la electricidad no se convierte en la velocidad de la luz. Pero muchos "mensajes" o, más correctamente, efectos transitorios que configuran el flujo estable final de hecho viajan a la velocidad de la luz en el medio en el que está inmerso tu circuito
Imagina tu circuito en el preciso instante en que cierras el interruptor. El interruptor cambia una condición de frontera del campo electromagnético, de repente (digamos para simplificar, instantáneamente) impartiendo una diferencia de potencial entre los dos conductores en el extremo de la batería, mientras que la diferencia de potencial justo antes de cerrar el interruptor era nula.
Sea $+z$ la dirección a lo largo de los conductores. Para simplificar, pensamos en tus conductores como una guía de ondas cuya sección transversal es invariantie en la dirección $z$.
Si resuelves este problema de valores en la frontera dado que la Diferencia de Potencial (DP) inicial era nula pero ahora es repentinamente +V en un extremo del conductor, la solución es que la diferencia de potencial ahora viaja por los conductores como una onda electromagnética en el espacio libre, aumentando progresivamente la DP de 0 a +V en puntos de $z$ crecientes a medida que la onda viaja.
La velocidad de esta onda no es simple: la guía de ondas compuesta por los conductores con espacio libre entre ellos tiene un sistema de modos propios con diferentes velocidades que dependen de la geometría de la sección transversal. Pero el modo de orden más bajo, el modo TEM (ver nota al pie) para un sistema de dos conductores, de hecho se desplaza a la velocidad $c$ si los conductores están inmersos en el espacio libre. La perturbación comprende modos propios que viajan a velocidades $c$ y menores que $c$.
A medida que esta perturbación viaja, el campo electromagnético actúa sobre los electrones de conducción en los cables. Comienzan a moverse. No pueden moverse a $c$ como mencionaste correctamente porque tienen masa en reposo distinta de cero. A medida que aceleran, generan su propia radiación: nuevas ondas electromagnéticas que viajan por los conductores como un sistema de modos con velocidades $c$ y menores.
Mientras tanto, la onda en el espacio libre llega a la resistencia. Si la resistencia no está adaptada a la impedancia característica de la guía de ondas, comienza a volver una onda reflejada, compuesta por modos propios a velocidades que viajan $c$ y menores.
Y todas estas ondas que rebotan de un lado a otro mueven a los electrones que irradian sus propios campos de reacción. Tenemos, muy brevemente, un sistema enormemente complicado de ondas rebotando de un lado a otro, provenientes tanto de la cerradura original del interruptor como de la radiación de los electrones acelerados.
Eventualmente, estas perturbaciones se disipan con los electrones moviéndose uniformemente a través del conductor a una velocidad de deriva determinada por la diferencia de potencial $V$. Esto es MUCHO más lento que $c$. Ya no hay más ondas rebotando: el campo electromagnético ahora es estático y los electrones derivan en su aburrido patrón de velocidad constante alrededor del circuito.
Pero, debido a que la perturbación inicial incluye el modo TEM que se desplaza a $c$, el primer movimiento de los electrones en el extremo de la resistencia del sistema de hecho comienzan a moverse un tiempo $L/c$ después de que se cierra el interruptor, donde $L$ es la distancia en la dirección $z$ a lo largo de los conductores desde la batería hasta la resistencia.
Nota al pie: Los modos TEM ("Transversales Electromagnéticos") surgen en guías de onda de dos conductores, es decir, aquellas con un "retorno" hacia adelante y hacia atrás, es decir, un sistema que se puede considerar como un circuito cerrado. Para conductores en el espacio libre, siempre tienen velocidad $c$ y, curiosamente, la configuración del campo EM en la sección transversal es la misma que una configuración electrostática/magnetostática, pero esta variación estática transversal está sujeta a un cambio de amplitud que se mueve como una onda, como explico en mi respuesta aquí y también aquí también.
