¿Cuándo $(e^a)^b = e^{ab}$?

Question

Por un complejo número de $A$ y un número real $B$, cuando hace la conocida fórmula $(e^A)^B = e^{AB}$ no? O es en todos los complejos?

Desde $e^{2\pi i} = 1$, si esta fórmula se cumple para todos los números complejos $A$ y los números reales $B$, entonces implicaría que $e^{2\pi ti}=( e^{2\pi i} )^t = 1^t=1$ todos los $t$, lo cual es obviamente falso.

Answer 1

Por definición, $$ \exp(A)^B = \exp(B \ln(\exp(A))) = \exp(B (A + 2 \pi i n)) = \exp(AB) \exp(2\pi i n B)$$ donde $n$ es un número entero. Diferentes valores de $n$ determinar qué rama del logaritmo (y por lo tanto de la energía) está siendo utilizado. En particular, $\exp(2 \pi i n B) = 1$ si y sólo si $nB$ es un número entero.

En particular, supongamos que usted está usando la rama principal, es decir, $-\pi < \text{Im}(\log(z)) \le \pi$ todos los $z$. Si $A = x + i y$, $\ln(\exp(A)) = x + i y + 2 \pi i n$ donde $n$ es elegido de manera que $-\pi < y + 2 \pi n \le \pi$. En particular $n = 0$ si y sólo si $-\pi < \text{Im} A \le \pi$. Para tal $A$, su identidad es verdadera para todas las complejas $B$. Si $\text{Im} A$ no está en ese intervalo, $n \ne 0$ y su identidad sólo es cierto para un conjunto discreto de valores de $B$.

Answer 2

Vamos a probar a ver lo $(e^a)^b$ significa en primer lugar:

Bien, $(e^a)^b= e^{b \cdot \ln(e^a)}$, por definición. Ahora, si fuera verdad que la $\ln(e^a)=a$, entonces seríamos felices, y $(e^a)^b$ sería nuestro familiar $e^{ab}$.

Ahora, vamos a $a=x+iy$ donde $x,y$ son reales.

A continuación, $e^a=e^x \cdot e^{iy}$. ¿Qué es $\ln(e^a)$, entonces? Debería ser $\ln(e^x)+\ln(e^{iy})$. No hay problemas con la $\ln(e^x)$ $x$ es real.

Sin embargo, mucho se debe tener cuidado al tratar con complejo de registros.Por ejemplo, ver aquí. Una breve razón es porque,$e^{iy}=e^{i(2\pi+y)}$, estamos en un punto de molestia. (Este punto está muy bien llevado en tu pregunta).

Así, no hay ningún problema con la fórmula $(e^a)^b=e^{ab}$ si $a$ es real. Los problemas comienzan cuando el $a$ es complejo, por las razones mencionadas anteriormente.

Thuus la respuesta a tu pregunta es que la fórmula hols real $a$ y cualquier $b \in \mathbb{C}$.