Hola a todos. ¿Es cierta la siguiente afirmación? Sea $\Omega$ una región abierta y acotada conectada en $R^n$, $f:\bar\Omega\to R^n$, $f\neq 0$ en $\partial\Omega$, $f$ y $\partial\Omega$ suaves, $0$ un valor regular de $f$. ¿El grado $deg(f,\Omega,0)$ es el mismo que el grado de $\partial\Omega\to S^{n-1}$, $x\mapsto f(x)/|f(x)|$...?
Respuesta
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Brady
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Aunque la pregunta es elemental, es interesante y quiero agregar una observación.
Preamble. Un enfoque común para el grado de Brouwer es la presentación axiomática (se define su dominio como el conjunto $\mathcal{D}$ de "triples admisibles" $(f, \Omega, p)$; y a cada uno de estos se le adjunta un entero $\operatorname{deg}(f, \Omega, p)$ de tal manera que ciertos axiomas se cumplan, a saber, "normalización", "continuidad", "excisión"; se demuestra que hay un y solo un mapa de grado que satisface estos axiomas). La ventaja de una presentación axiomática, por supuesto, es que incluso si varias construcciones son posibles, al final no importa cuál adoptemos ya que nos llevan a la misma teoría.
Una posible construcción del grado de Brouwer es por inducción en la dimensión: tan pronto como se tenga el grado $\mathbb{Z}$ definido en $\mathbb{R}^n$, extiéndalo a variedades orientadas de $n$ dimensiones, y luego a $\mathbb{R}^{n+1}$ mediante la fórmula que escribiste. Por lo tanto, debes verificar que los axiomas para el grado en dimensión $n+1$ se cumplan.
