Dado un espacio topológico, $X$ ¿hay algún beneficio en estudiar $Spec(H^*(X))$ ¿O todo lo que nos interesa ya está disponible "en el álgebra"?
Como $H^*$ es un anillo graduado, ¿cambia esta cuestión si en su lugar miramos a $Proj(H^*(X))$ ?
Hasta ahora he encontrado algunos artículos que tratan del espectro de los anillos de cohomología de las variedades, pero nada que tenga que ver con los espacios topológicos, ni con la constricción Proj.
La respuesta corta es sí. Por ejemplo, $\text{Spec }H^{\bullet}(\mathbb{CP}^{\infty})$ (aquí la cohomología se concentra en grado par, por lo que no hay problema en aplicar $\text{Spec}$ en el sentido clásico) puede identificarse con la línea afín formal. La estructura de grupo en $\mathbb{CP}^{\infty}$ dado por los haces de líneas tensores induce una estructura de esquema de grupo en la línea afín formal que es la estructura del grupo aditivo formal. Este es el comienzo de una larga historia en teoría de la homotopía cromática conectando la teoría de la homotopía con los grupos formales.
El siguiente ejemplo consiste en sustituir la cohomología ordinaria por la teoría K, donde obtenemos el grupo formal multiplicativo. Ahora es natural preguntarse si podemos encontrar teorías de cohomología en las que obtengamos más exóticas ( $1$ -dimensional, conmutativo) como los grupos formales adjuntos a las curvas elípticas, que es parte de la historia de cohomología elíptica . También hay muchas otras partes de esta historia; véase, por ejemplo, Teorema de Quillen sobre MU .
En cuanto a las quejas en los comentarios sobre la conmutatividad, probablemente un invariante de mejor comportamiento implica pensar en la geometría algebraica derivada de algo como $\text{Spec } C^{\bullet}(X)$ . DAG XIII explica algo así.
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Los tres primeros resultados aquí son interesantes y bastante conocidos. Sin embargo, no conozco nada con el nivel de generalidad que usted menciona.
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$H^* (X)$ no es siempre un anillo conmutativo, así que ¿cómo propones aplicar $\operatorname{Spec}$ o $\operatorname{Proj}$ a ella?
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Perdón, debería haber aclarado que me refiero a los casos en los que se puede hablar de Spec y Proj.
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De hecho, creo que si H* es conmutativo graduado aún podemos hacer que estas construcciones funcionen, pero sólo (creo) si cambiamos los espacios topológicos por grupos topológicos. Ver : library.msri.org/libros/libro51/files/01benson.pdf
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AFAIK este POV es más útil en cohomología equivariante. Por ejemplo, en el contexto de los teoremas de localización es natural (al menos) ver $H_G(X)$ como una gavilla sobre $\operatorname{Spec}H_G(pt)$ . Ver también Quillen. El espectro de un anillo de cohomología equivariante y Goresky, MacPherson. Sobre el espectro del anillo de cohomología equivariante ...