¿Qué se quiere decir exactamente por "no repetitivo" cuando se habla de números irracionales?

Question

Mi pregunta se refiere a la definición exacta que los matemáticos usan al describir las expansiones decimales de números irracionales como "no terminantes y no repetitivas". Ahora, entiendo, al menos aparentemente, lo que se quiere decir con "no terminantes" y la frase "no repetitivas" parece bastante simple de entender, pero siempre me he preguntado qué se entiende por la definición exacta:

Siempre he entendido que el término "no repetitivas" se refería a una secuencia específica de números que aparece no más de una vez en la expansión decimal. Estoy confundido sobre los criterios exactos para cumplir con este requisito.

• Sin duda, no puede ser solo una secuencia de $1$ número. En el sentido de que $\pi$ comienza con el número $3$ y luego el número $3$ vuelve a aparecer, una y otra vez un número infinito de veces.

• ¿Es una secuencia de $2$ números repitiéndose entonces? Por ejemplo, en la proporción dorada $\phi = 1.61803398874989$ podríamos tomar cualquier secuencia de $2$ números, por ejemplo $61$ o $98$ o $33$ ¿sería suficiente para decir que esa secuencia en particular nunca vuelve a aparecer? Eso parece muy poco probable dada la naturaleza "no terminante" de las expansiones decimales para los números irracionales.

• Si no, entonces ¿qué secuencia de $n$ números es suficiente para declarar a un número "no repetitivo"?

• Además, filosóficamente, ¿tiene sentido que cualquier secuencia de números no se repita más de una vez? Cuando, necesariamente, un número irracional tiene una expansión decimal infinitamente larga y una secuencia de números (al menos para determinación práctica) sería finita hasta algún $n \in \mathbb{N}$

  • Quiero decir, la idea de que la longitud de la secuencia sea infinitamente larga simplemente parece ser una solución conveniente que diluye el significado de la cualidad "no repetitiva" de los números irracionales en primer lugar. Ya que, si alguna vez encontraste una secuencia que se repitiera para cualquier secuencia de $n$ dígitos que tuvieras, siempre podrías decir "¡oh en realidad me refería a esta secuencia de $(n+1)$ dígitos!" y seguir agregando dígitos a la secuencia ad infinitum.

Tal vez el término no se refiere a secuencias repetitivas de números, sino más bien a que los mismos números se repiten uno tras otro.

• Pero esto no puede ser el caso como vimos anteriormente con la Proporción Dorada, en la aproximación corta escrita tenemos $2$ casos donde el mismo número se repite inmediatamente (es decir, $33$ y $88$) también vemos esto en esta aproximación para $\pi = 3.1415926535897932384626433$

Entonces, si el término "no repetitivas" no se refiere a la repetición de secuencias de números de $n$ dígitos, ni a la repetición consecutiva del mismo número, ¿a qué más se podría referir?

Answer 1

La frase "no repetitiva" puede ser un poco confusa cuando se introduce por primera vez. Un término más preciso, aunque menos pegajoso, es "no eventualmente periódica" (y esto es lo que los matemáticos quieren decir cuando dicen "no repetitiva" en el contexto en cuestión).

Una secuencia de números $(a_i)_{i\in\mathbb{N}}$ es eventualmente periódica si y solo si existen $m, k$ tal que para todo $n>m$ tenemos $a_n=a_{n+k}$. El "eventualmente" aquí está conectado al "$m$" - la secuencia $$0,1,2,3,4,5,6,4,5,6,4,5,6,...$$ no es periódica pero es eventualmente periódica (toma $m=4$ y $k=3$). Por otro lado, la secuencia $$0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,...$$ ni siquiera es eventualmente periódica (aunque por supuesto tiene mucha repetición en ella).

La conexión con la irracionalidad es la siguiente:

Para un número real $r$, lo siguiente son equivalentes:

• $r$ es irracional.

• Alguna expansión decimal de $r$ no es eventualmente periódica.

• Ninguna expansión decimal de $r$ es eventualmente periódica.

(El problema con respecto a estos últimos dos puntos es que algunos números tienen múltiples expansiones decimales. Pero esto no es tan importante para enfocarse al principio.) En particular, el número $$0.01001000100001000001...$$ es irracional.

Y base $10$, como era de esperar, no juega ningún papel aquí: la caracterización anterior funciona con "expansión decimal" reemplazada por "expansión en base-$b$" para cualquier $b$.

Answer 2

Otros han proporcionado una definición sólida y formal, lo cual es genial. Publicaré una respuesta que se centre más en la comprensión conceptual de la cosa.

Siempre entendí que el término "no repetitivo" se refería a una secuencia específica de números que no se repiten más de una vez en la expansión decimal.

No. Repetitivo significa que en algún momento la expansión decimal tiene un bloque específico de dígitos que se repiten, uno tras otro, y nada más sucede. No repetitivo significa cualquier cosa que no sea eso.

Y quizás vale la pena destacar que, lógicamente, "no siempre repetitivo" (no repetitivo) no es lo mismo que "siempre no repetitivo". Es, más bien, equivalente a "a veces no repetitivo". (Pregunta relacionada.)

Pienso que algunos dirían que la cualidad es bastante obvia si se entiende el mecanismo que genera secuencias decimales repetitivas. Toma cualquier fracción a/b. Comienza a hacer la división larga: en cada paso solo hay b restos posibles (específicamente, los enteros de 0 a b-1). Debido a este conjunto finito de restos posibles, si la división no termina, en algún momento llegará a uno de los restos vistos previamente. Y una vez que eso sucede, estás repitiendo literalmente un paso de la división visto anteriormente en el proceso, lo que comenzará a reproducir la misma secuencia exacta de cocientes y divisores después de ese punto, para siempre.

Un excelente ejercicio sería hacer varias de estas divisiones largas a mano y presenciar la repetición de dígitos a medida que ocurre. Con suerte, esa experiencia hará que el significado de "repetitivo" sea muy concreto.

Answer 3

Un número decimal $x$ es repetitivo si existen $m,n \in \mathbb{N}$ con $m > n$ tal que $10^mx-10^nx \in \mathbb{Z}$. Esto significa que $10^mx$ y $10^nx$ tienen el mismo patrón periódico después del punto decimal. Ten en cuenta que dicho número debe ser racional porque si $10^mx-10^nx=k$ para algún entero $k$ entonces $x = k/(10^m-10^n)$ que es la razón de dos números racionales, y por lo tanto es racional. Por lo tanto, para que un número sea irracional, la expansión decimal no puede ser eventualmente periódica.

Answer 4

El siguiente es un ejemplo típico de un número decimal $x$. Debe existir un número natural $n$, y una secuencia finita de dígitos $d_1, d_2,d_3,\ldots d_n$, tal que se cumpla la siguiente ecuación.

$$x = 0.d_1d_2d_3\ldots d_nd_1d_2\ldots$$

repetido de manera obvia. Si prefieres, podrías decir que el dígito $N^{\text{th}}$ de $x$ es $d_{N \% n}$, donde $\%$ se refiere al módulo.

Los decimales periódicos son precisamente aquellos que terminan en una secuencia repetida de dígitos. En otras palabras, comienza con cualquier secuencia de dígitos (¡finita!) que desees, y luego eventualmente se repite como se indicó anteriormente. La repetición no necesita empezar en el punto decimal. Estos son precisamente los números decimales que pueden expresarse como fracciones.

$\phi$ no tiene esta propiedad para $n=2$ y $(d_1,d_2) = (6,1)$ porque el primer $61$ es seguido de $80$, no de $61$. De hecho, $\phi$ no tiene ninguna subsecuencia finita que se repita para siempre. Sin embargo, probablemente contiene las subsecuencias $6161$, $616161$, $61616161$, y así sucesivamente. La subsecuencia $61$ puede ocurrir infinitamente veces. Pero eso no es suficiente para que sea un decimal periódico.

Si no, ¿qué secuencia de n números es suficiente para declarar un número "no periódico"?

No puedes determinar si un número es irracional (es decir, no eventualmente periódico) observando finitamente muchos dígitos. Necesitas utilizar otras técnicas. En general, puede ser muy difícil demostrar que un número real dado (definido de otra manera que no sea por sus dígitos) es irracional. Pero a veces puede hacerse.

si alguna vez te encuentras con una secuencia que se repite para cualquier secuencia de n dígitos que tuvieras, siempre podrías decir "¡ah, en realidad me refería a esta secuencia de (n+1) dígitos!" y seguir agregando dígitos a la secuencia ad infinitum.

Este juego no funcionará si se te permite cambiar dígitos después de observarlos. El objetivo de calcular una expansión decimal es que eliges el número primero. ¿Cómo sabes qué número es si no conoces sus decimales? Te escucho gritar. Hay muchas maneras. Por ejemplo: $\tfrac{7}{3}$. O podría decir "la solución positiva única a la ecuación $x^2=2$". Esa es una definición perfectamente válida (al menos se puede demostrar que es una definición perfectamente válida) y te permite calcular todos los decimales. Pero no puedes contar algunos de ellos y luego cambiarlos.

Si en cambio significa que la secuencia que crees que es la parte periódica podría seguir cambiando, es decir, podrías permitir una ventana más amplia para representar la parte periódica, entonces tu truco no afecta nada. Toma el número áureo, por ejemplo. ¿Es la parte repetitiva 6? No, el siguiente dígito es 1. ¿Es la parte repetitiva 61? no, el siguiente dígito es 8. ¿Es 618? No... Y continuamos para siempre. Nunca encontrarás una secuencia que se repita constantemente. Eso es lo que significa ser irracional.

Answer 5

Los decimales periódicos pueden escribirse como $a.b\bar c$ donde $a$, $b$ y $c$ son alguna secuencia de dígitos (posiblemente vacía). $\overline c$ significa "repetir esta secuencia de dígitos". Por ejemplo, $571.45\overline{2973}$ es un decimal periódico, con $a$ siendo la secuencia $571$, $b$ siendo la secuencia $45$, $c$ siendo la secuencia $2973$, y $\overline{2973}$ significa "repetir la secuencia $2973$ un número infinito de veces". Es decir, $571.45\overline{2973} = 571.4529732973297329732973297329732973...$, donde el significado de una representación decimal infinita está definido en términos del límite de la secuencia de truncamientos finitos de la representación a medida que la longitud del truncamiento tiende a infinito.

Todos los números racionales pueden escribirse como un decimal periódico (no necesariamente único) (esto es verdad en todas las bases numéricas). Los números irracionales no pueden.