Valor Absoluto | Prueba de Corchetes

Question

Demuestra que si $|x-y| < c$ entonces $|x| < |y| + c$

Desarrollo:

Tengo dos ideas de una demostración

Prueba 1:

$$|x| =|x-y+y|\leq |x-y|+|y|\leq c+|y|$$

Así $|x| < |y| + c$

Prueba 2:

Por la desigualdad del triángulo:

$$-|x-y| \leq |x| - |y| \leq |x-y| < c$$

Entonces $$|x| - |y| < c$$

Dividir esto en dos casos:

Caso 1: Cuando $|x| > |y|$

Caso 2: Cuando $|y| > |x|$

Cuando $$|x| > |y|, |x-y| > 0$$ Significa que $c > 0$

Entonces, por (< preservado por la adición) $|x|$ < $|y| + c$

Cuando $|y|$ > $x$, $x-y < 0$, aunque $|x-y| > 0$. Entonces $x-y < 0 < |x-y|$

Y $c > |x-y|$

Así que $c > 0$

Por lo tanto, $|x| < |y| + c$

No estoy seguro si alguna, ambas o ninguna de mis pruebas son correctas. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Ambas demostraciones parecen perfectamente bien para mí. Excepto donde agregaste casos. Notarás que obtienes exactamente el resultado que estabas tratando de probar antes de tener que considerar casos. Por lo tanto, no es necesario. Tampoco necesitas preocuparte por si $c>0$. (Aunque, por tu suposición de que $|x-y|0$.) Para ser un poco más minucioso, podrías querer agregar una línea al inicio de tu segunda demostración donde comiences con $||x|-|y||\leq |x-y|$ antes de pasar a $-|x-y|\leq |x|-|y|\leq |x-y|$. Pero eso depende de quien esté leyendo tu demostración, y puede ser claro sin la línea adicional.

Answer 2

La Prueba 1 parece perfecta, excepto por un pequeño detalle: has escrito $|x - y| + |y| \leq c + |y|$, mientras que necesitas escribir (y presumiblemente querías escribir) $|x - y| + |y| < c + |y|$.

Estoy de acuerdo con la otra respuesta y los comentarios sobre la Prueba 2, en que ya está prácticamente completa casi desde el principio, sin necesidad de la posterior división en casos.

Además, debido a esto, la Prueba 2 es prácticamente equivalente a la Prueba 1, porque al citar la desigualdad del triángulo como $|x| - |y| \leq |x - y|$, estás haciendo uso esencialmente de la misma deducción más inmediata de la desigualdad del triángulo que hiciste en la Prueba 1, es decir, $|x| = |x - y + y| \leq |x - y| + |y|$.