En la definición del álgebra de Cherednik de una variedad con una acción de grupo finito

Question

Sea $X$ una variedad compleja suave afín y conectada, actuada por un grupo finito $G$. Definimos una hiper-superficie de reflexión $(Y,g)$ como una subvariedad suave de codimensión uno $Y\subset X$ la cual es fija bajo $g\in G$. Sea $S$ el conjunto de hiper-superficies de reflexión. Denotamos por $c$ al espacio vectorial de aplicaciones $G$-equivariantes de $S$ a $\mathbb{C}$. En la página 8 del artículo Cherednik and Hecke algebras of varieties with a finite group action, el álgebra de Cherednik $H_{t,c,\omega}(X,G)$ es definida como la subálgebra de $G\ltimes \mathcal{D}_{\omega/t}^{r}(X)[c]$ generada por $G$, $O(X)$ y los operadores Dunkl-Opdam. El álgebra $\mathcal{D}_{\omega/t}^{r}(X)$ es el álgebra de operadores diferenciales torcidos asociados con $\omega /t$ con coeficientes racionales, donde $\omega$ es una forma cerrada $G$-invariante de 2-formas y $t$ es un número complejo no nulo. La siguiente fórmula define los operadores Dunkl-Opdam: $$D := t\mathbb{L}_{v} + \sum_{(Y,g)} \frac{2c(Y,g)}{1-\lambda_{Y,g}}f_{Y}(x)(1-g)$$ donde $v\in \Gamma(X,TX)$, y $f_{Y}(x)$ es un representante del cociente de $\xi_{Y}(x)\in \Gamma (X,O_{Z}(X)/O(X))$ definido en las páginas 5-6 del artículo mencionado. El elemento $\lambda_{Y,g}$ es definido como el autovalor de $g$ en el haz conormal de $Y$. Tengo varias preguntas con respecto a esta última parte de la definición. En particular, $\lambda_{Y,g}$ es una función regular en $Y$. Sin embargo, en esta definición se considera como un elemento de $O(X)$. En el caso donde $Y$ es el lugar de anulación de una función $f$, se sigue que $g$ induce una automorfismo $g:f\cdot O(X)\rightarrow f\cdot O(X)$ del ideal que define a $Y$. Por lo tanto, tenemos que $g(f)=\lambda_{Y,g}f$, y se sigue que la clase de $\lambda_{Y,g}$ en $O(Y)$ es el autovalor deseado. Sin embargo, en el caso general donde $Y$ no está dado por el lugar de anulación de una única función regular no veo una manera de extender $\lambda_{Y,g}$ a una función regular en $X$. Mi primera pregunta con respecto a este operador se puede resumir de la siguiente manera:

1. ¿Cuál es la definición de $\lambda_{Y,g}$ en el caso general?

Más adelante en el Teorema 2.17, utilizando el caso de los álgebras de Cherednik racionales y algunos argumentos de linealización local, Etingof muestra el teorema PBW para los álgebras de Cherednik. La demostración parece depender de que una de las siguientes afirmaciones sea verdadera. Sin embargo, no he sido capaz de demostrar ninguna de ellas.

2. Sea $Y=\mathbb{V}(f)$ y $h\in O(X)$. ¿Es cierto que $\frac{h-g(h)}{(1-\lambda_{Y,g})f}$ es una función regular en $X$?

Esto es equivalente a:

3. ¿Es invertible $1-\lambda_{Y,g}$?

Observa que ambos son claramente verdaderos en el caso de álgebras de Cherednik racionales.

Por otro lado, los álgebras de Cherednik también pueden ser definidos considerando los términos $t,c$ y $\omega$ como variables. En el artículo, el caso $t=0$ no está excluido. Los operadores Dunkl-Opdam tienen sentido para $t=0$, pero el anillo $\mathcal{D}_{\omega/t}^{r}(X)$ a priori no. Se agradecería alguna aclaración al respecto.

Answer 1

Las preguntas 2. y 3. son correctas. Por el Lema de Cartan $Y$ es suave. Para un punto $p\in Y$ se tiene que $$T_{p}Y=(T_{p}X)^{g}\text{.}$$ Si $1-\lambda_{Y,g}(p)=0$ entonces la acción de $g$ en $T_{p}X$ es trivial. Por lo tanto, $T_{p}Y$ tiene la misma dimensión que $X$. Pero esto no puede ser posible, ya que $Y$ es una hipersuperficie suave. Por lo tanto, puedes tomar un abierto $G$-invariante que contenga a $p$ en el cual $1-\lambda_{Y,g}$ sea invertible.