Me encontré con la siguiente pregunta:
El polinomio característico de una matriz $3 \times 3$ $A$ es $|\lambda I -A| = \lambda^3 + 3 \lambda^2+4 \lambda +3$. Encuentra $trace(A)$ y $det(A)$.
Sé que tengo que encontrar los valores propios $x$ de la ecuación característica $x^3 + 3 x^2+4 x +3 =0$, luego sumarlos para encontrar $trace(A)$ y multiplicarlos para encontrar $det(A)$. Sin embargo, no soy capaz de encontrar las raíces de la ecuación cúbica.
Intenté encontrar su solución utilizando la forma cúbica deprimida de del Ferro (explicada en la Sección 1.3 de Complex Analysis de Newman y Bak). Sustituí $x$ por $y-1$ en la ecuación característica y obtuve la ecuación cúbica $y^3+y+1=0$. Al resolver más según el método, obtuve
$x=u+v= \sqrt[3]{\frac{-1}2+ \sqrt{\frac 14 + \frac 1{27}}}+\sqrt[3]{\frac{-1}2- \sqrt{\frac 14 + \frac 1{27}}}$.
No puedo resolverlo más, por lo tanto no puedo encontrar el trace o el determinante. ¿Alguna idea de cómo resolverlo más para encontrar la raíz? También alguna idea de cómo hacerlo por otro método (como escribiendo su matriz compañera - no sé cómo hacerlo).
Gracias.
