Injectividad de submódulos de torsión de inyectivos

Question

La cohomología local con respecto a un ideal $\mathfrak{a}$ se estudia a menudo sobre un anillo noetheriano $R$. Sin embargo, la demostración de muchos resultados básicos no depende de la noetherianidad de $R$, sino más bien de las siguientes dos propiedades:

(ITI) Los submódulos de torsión $\mathfrak{a}$ de módulos inyectivos son inyectivos.

(ITR) Los módulos de torsión $\mathfrak{a}$ tienen resoluciones inyectivas cuyos componentes son de torsión $\mathfrak{a}$.

Si $R$ es noetheriano, entonces tiene ITI con respecto a cada $\mathfrak{a}$. Si $R$ tiene ITI con respecto a $\mathfrak{a}$, entonces tiene ITR con respecto a $\mathfrak{a}$.

¿Se sabe algo sobre las conversas de estas implicaciones? ¿Alguien conoce un anillo que no cumpla con ITR?

Answer 1

@ Fred: Creo que lo siguiente puede ayudarte a dar un ejemplo para la pregunta (ITR):

1. Elija un anillo local no noetheriano $(A, \frak{m})$ tal que $\frak{m}= \frak{m}^n$ para todo $n$.

2. Sea $E(k)$ el sobreinyectivo de $k = R/\frak{m}$.

3. Reclamación: si $E(k)$ es $\frak m$-torsión, entonces $E(k) = k$. De hecho, sea $x \in E(k)$. Existe un $n$ tal que $\frak{m}^n x = 0$. Por lo tanto, $\frak{m} x = 0$. Pero $k \subseteq Rx$, entonces $x \in k$. Así que $k$ es sobreinyectivo.

Querido Fred, te doy aquí ese anillo.

Sea $k$ un archivo y $Q^+$ el semigrupo de razón no negativa. Sea $A = k[Q^+]$ el anillo semigrupo, es decir

$A = \{ \sum_{\alpha}u_{\alpha}x^{\alpha}: u_{\alpha} \in k \}$.

Sea $\frak{n} = (x^{\alpha}: \alpha > 0)$ el ideal maximal de $A$. Dado que para todo $\alpha > 0$ tenemos $x^{\alpha} = x^{\alpha/2}x^{\alpha/2} \in \frak{n}^2$, entonces $\frak{n} = \frak{n}^2$.

Sea $S = A_{\frak{n}}$. Sea $I = (x^{\alpha}: \alpha > 1)$ un ideal de $S$. Sea $(R, \frak{m})$ el anillo cociente $S/I$. Tenemos $\frak{m} = \frak{m}^2$ como se menciona antes.

Reclamación: $k$ no es inyectivo.

Prueba de la reclamación: Consideramos el ideal $(x) \subseteq R$. Observa que $(x) \cong k$ como módulos sobre $R$. Si $k$ es inyectivo, entonces (x) es una suma directa del anillo local $R$. Esto es una contradicción.

Answer 2

1) Un anillo tiene ITI con respecto a un ideal $\mathfrak{a}$ si y solo si tiene ITR con respecto a $\mathfrak{a}$.

2) Un anillo no necesariamente tiene ITI con respecto a un ideal de tipo finito. (Nótese que el ideal en el ejemplo de Quý no es de tipo finito.)

3) Un anillo que tiene ITI con respecto a cada ideal de tipo finito no necesariamente tiene ITI con respecto a cada ideal.

Las pruebas de lo anterior, ejemplos concretos y más detalles sobre la propiedad ITI pueden encontrarse en un trabajo conjunto con P.H.Quý (quien dio la respuesta aceptada), disponible aquí. Ver también esta pregunta.