Existencia de un conjunto abierto en la topología del producto

Question

Sea $X$ un espacio topológico compacto y $Y$ un espacio de Hausdorff. Sea $C \subseteq Y$ cerrado en $Y$ y $U$ un conjunto abierto en $X \times Y$ que contiene a $X \times C$. Demuestra que existe un conjunto abierto $V \subseteq Y$ tal que $X \times C \subseteq X \times V \subseteq U.

Esto es lo que intenté.

Sea $b \in C$ fijo. Para cada $x \in X$ encuentra conjuntos abiertos $U_{x}$ y $V_{x}$ en $X$, $Y$ respectivamente que contengan a $x$ y $b$. Luego, la colección $\{U_{x}: x \in X\}$ cubre $X$ así que por la compacidad de $X$, tenemos $X \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} U_{i}$. ¿Cómo obtener el conjunto abierto $V$ a partir de aquí? Si tomamos $V$ como la intersección finita de los $V_{i}$ entonces esto no satisfará $X \times V \subseteq U. Además, no veo dónde usar la hipótesis de que $C$ es cerrado.

No creo que el enfoque anterior funcione. ¿Podrías ayudarme por favor? Gracias.

Answer 1

La cerradura de $C$ es irrelevante. Aquí hay un argumento:

Lema.

1. Sea $f: X \to Y$ una función (no necesariamente continua) entre espacios topológicos que es cerrada, es decir, que mapea conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. Si $A \subset Y$ es arbitrario y $U \subset X$ es abierto tal que $f^{-1}(A) \subset U$, entonces existe $V \supset A$ abierto tal que $f^{-1}(V) \subset U.
2. Si $X$ es compacto y $Y$ es Hausdorff, entonces la proyección $\pi: X \times Y \to Y$ es cerrada.

Dado que $\pi^{-1}(C) = X \times C \subset U$, combinando el punto 1 y el punto 2 con $A = C$ se obtiene que $V \supset C$ es abierto tal que $\pi^{-1}(V) = X \times V \subset U.

Prueba del 1: Como $f$ es cerrada, el conjunto $V = Y \smallsetminus f(X \smallsetminus U)$ es abierto. Dado que $f^{-1}(A) \subset U$, tenemos que $A \subset V$. Además, $X \smallsetminus U \subset f^{-1}(f(X \smallsetminus U))$ implica que $f^{-1}(V) = X \smallsetminus f^{-1}(f(X \smallsetminus U)) \subset X \smallsetminus (X \smallsetminus U) = U.

Prueba del 2: Sea $F \subset X \times Y$ cerrado y sea $y \in Y \smallsetminus \pi(F)$ arbitrario. Observa que $F \cap (X \times \{y\}) = \emptyset$. Dado que $(X \times Y) \smallsetminus F$ es abierto y contiene a $X \times \{y\}$, la definición de la topología del producto implica que para cada $x \in X$ existen conjuntos abiertos $U_{x} \subset X$ y $V_{x} \subset Y$ tales que $(x,y) \in U_{x} \times V_{x} \subset (X \times Y) \smallsetminus F$. Como $X \times \{y\}$ es compacto, existen $x_{1},\ldots,x_{n}$ tales que $X \times \{y\} \subset (U_{x_{1}} \times V_{1}) \cup \cdots \cup (U_{x_{n}} \times V_{x_{n}}) =: W$. Por construcción, $W \subset (X \times Y) \smallsetminus F$ y el conjunto abierto $V := V_{x_{1}} \cap \cdots \cap V_{x_{n}}$ contiene a $y$ y satisface $\pi^{-1}(V) \subset W$, por lo tanto $V \cap \pi(F) = \emptyset$, entonces $Y \smallsetminus \pi(F)$ es abierto.