¿La difusión hace que la botella se mueva hacia la izquierda?

Question

Hay una solución de soluto y agua dentro de la botella, colocada sobre una superficie horizontal lisa sin fricción, con la densidad del soluto mayor que la densidad del agua, y la concentración del soluto en el lado izquierdo de la botella es mayor que la concentración del soluto en el lado derecho de la botella. En el proceso de difusión del soluto de izquierda a derecha, la masa en el lado derecho se volverá más grande, ¿esto causará que la botella se mueva hacia la izquierda?

Answer 1

Sí, la botella se moverá.

Se moverá de tal manera que el centro de masa del sistema "botella y todo lo que hay dentro de ella" permanecerá en la misma posición.

Esto se debe a que no hay fuerzas externas actuando sobre este sistema. ¡Errrghh, necesito ser más preciso aquí: esto se debe a que la componente horizontal de todas las fuerzas externas es cero => la velocidad horizontal del centro de masa permanecerá constante => permanecerá en cero, ya que era cero al principio => las coordenadas horizontales del centro de masa permanecerán constantes.

El centro de masa no se moverá, pero verás que la botella se movió, porque la distribución de masa de las cosas dentro de la botella cambió.

Answer 2

Sí, la botella se moverá ya que no hay fuerzas horizontales y, por lo tanto, el centro de masa (CdM) del sistema debe mantenerse fijo. Es una consecuencia de la conservación del momento. Es difícil señalar realmente "qué fuerza" actuará sobre la botella, pero será la de las moléculas individuales moviéndose hacia el otro lado por fluctuaciones térmicas que, por acción-reacción, al recibir un empujón de un lado a otro, también ejercen el mismo empuje hacia atrás. Esto se propagará a la botella que se moverá. Más en general, la fuerza proviene del hecho de que el sistema no está en equilibrio y, por lo tanto, hay una energía que se puede minimizar para producir trabajo.

Entonces la botella se moverá. ¿Pero cuánto?

Supongamos que la botella es un cilindro de masa (botella+agua) $M$ y longitud $L$ y contiene $N$ moléculas de soluto, cada una con masa $m$ y confinadas en el lado izquierdo. Establecemos una coordenada a lo largo de la botella con $x=0$ en el centro de la botella

Al principio, tienes el CdM de la botella en $x=0$ y el CdM de las moléculas en $-L/4$, la mitad del lado izquierdo. Por lo tanto, el CdM del sistema está en

$$x_0={-NmL\over 4}{1\over (M+Nm)}$$

Después de la expansión, la botella se habrá movido por una cantidad $\Delta x$ hacia la izquierda para compensar las moléculas que van hacia la derecha y ahora, después de que se ha equilibrado el sistema, tanto la botella como las moléculas tienen el mismo CdM debido a la simetría, por lo que podemos escribir directamente el CdM como el centro geométrico del sistema. Entonces el CdM final está dado por

$x_f = -\Delta x$

Porque $x_0=x_f$ por la conservación de la posición del CdM, obtenemos

$$\Delta x = {-NmL\over 4}{1\over (M+Nm)}$$

Ahora, si asumimos que tenemos una botella estándar de $1 L$, $M=1$ Kg y $L=0.2$ m. Si contiene $n$ moles de un soluto, digamos sal de cocina, $Nm=n M_m$ donde y $M_m=0.058$ Kg es la masa molecular (masa de un mol de, en este caso, $NaCl$).

Por lo tanto

$$\Delta x = ({-n M_m L \over 4})({1\over M + nM_m}) = -{L\over 4}{1\over 1+M/nM_m}$$

que para las condiciones anteriores, estableciendo $n=1$ un mol

$$\Delta x = {0.05 \; m}{1\over 1+ 1\;Kg/0.058\; Kg}\approx 3 \; mm$$

Observa que - a menos que haya cometido algún error :D - el movimiento no es microscópico, en principio podrías verlo si tienes una superficie muy poco friccionante. También observa que depende de la masa de la botella (cuanto menor sea $M$, mayor será el desplazamiento) y de la longitud de la botella (una botella muy delgada se mueve más que una muy corta). Y, por supuesto, de cuánto soluto tengas. Como referencia, el agua de mar es de 0.6 moles/litro, el agua de la pasta es de 0.05-0.1 moles/litro.

Answer 3

Lo que sucede depende de cómo especifiques las condiciones iniciales. Presumiblemente, la botella está inicialmente en reposo en el marco del laboratorio. Pero no está claro en la pregunta si el centro de masa del soluto está inicialmente en reposo.

Caso I: hay una partición que divide la botella en regiones con agua pura y solución; con ambas regiones en estado estacionario, quitas la partición sin impartir ningún impulso horizontal. La botella comienza a deslizarse en la dirección hacia el lado con la solución (porque la presión ejercida por el soluto en la pared de la botella ya no está equilibrada por una fuerza opuesta en la partición) y se detiene en una nueva posición cuando el soluto alcanza una distribución homogénea. El centro de masa del sistema permanece inmóvil durante todo el proceso.

Caso II: no hay partición, solo una gran concentración de soluto en un lado y una pequeña concentración en el otro lado; inicialmente sostienes la botella estacionaria suministrando una fuerza para evitar la aceleración que de otra manera ocurriría (así como lo hace en el Caso I). Luego sueltas la botella. En este caso, el sistema no está inicialmente en equilibrio—en el momento en que sueltas la botella, hay un flujo difusivo horizontal neto de soluto: más moléculas del soluto se mueven hacia el lado de baja concentración que hacia el lado de alta concentración (el impulso provino de tu mano, y la razón por la que más moléculas se mueven hacia el lado vacío es que más están chocando contra la pared de alta concentración, y cambiando de dirección, que contra la pared de baja concentración). Entonces, el centro de masa del sistema no está inmóvil. A medida que la concentración de soluto aumenta en el lado del agua, la botella comienza a moverse (en la dirección opuesta al Caso I). La botella se acelera hasta que la solución se homogeneiza, después de lo cual continúa moviéndose a velocidad constante, de manera que el impulso total sea igual al impulso suministrado por tu mano antes de soltarla.

Answer 4

Sí, la botella se moverá hacia la izquierda.

El centro de masa de todo el sistema permanece fijo. El centro de masa del líquido se ha desplazado hacia la derecha, por lo que la botella debe moverse hacia la izquierda.

La razón por la que esto sucede es la siguiente.

La presión de un líquido de densidad $\rho$ a una profundidad $h$ es $h\rho g$ Cada líquido ejerce una presión igual a la izquierda y a la derecha en un lado de la botella y la partición. Cuando se retira la partición, hay un breve período de tiempo en el que hay una presión mayor en la pared izquierda que en la pared derecha.

Esta diferencia de presión hace que la botella se mueva hacia la izquierda durante el tiempo en que el centro de masa de los líquidos se está desplazando hacia la derecha.

La diferencia de presión y movimiento se detendrán cuando el centro de masa de los líquidos deje de moverse.

Answer 5

JalfredP dio una excelente respuesta, pero intentemos tener una idea intuitiva de lo que realmente está sucediendo. Para hacerlo, asumamos que el contenedor es en forma de U, con una válvula en la parte inferior. Llenamos el lado derecho con agua, y el lado izquierdo con la solución de mayor densidad hasta el mismo nivel. Hay más masa en el lado izquierdo, y por lo tanto más presión en el lado izquierdo de la válvula que en el lado derecho. Cuando abrimos la válvula, la diferencia de presión ejerce una fuerza sobre el fluido, haciendo que fluya hacia la derecha. Debido a la tercera ley de Newton, esta fuerza provoca una fuerza igual y opuesta sobre el contenedor, haciéndolo moverse hacia la izquierda.

Después de un rato, la presión se iguala a la izquierda y a la derecha, con el nivel de fluido en la parte izquierda de la U más bajo que en el lado derecho. Esto detiene el flujo del fluido. La fuerza que detiene el flujo del fluido provoca una fuerza igual y opuesta sobre el contenedor nuevamente, lo que detiene el movimiento del contenedor.

Es esta primera fase de estabilización de presión la que hace que el contenedor se mueva. Después de esto, la masa en el lado izquierdo es la misma que en el lado derecho, y el centro de masa está en el medio del contenedor. El fluido se difundirá gradualmente después de esto, sin mover el contenedor, hasta que los niveles en ambos lados sean igualmente altos.

Un contenedor abierto funciona ligeramente diferente a una forma de U, porque el agua en la parte superior puede y fluirá hacia la izquierda, manteniendo el nivel en ambos lados igual. Pero el agua en la parte superior es más ligera que la solución en la parte inferior, por lo que el efecto neto sigue siendo una fuerza sobre el contenedor hacia la izquierda.

En un contenedor abierto, durante la fase de estabilización de presión, el fluido de mayor densidad fluirá hacia el fondo del contenedor, con el agua en la parte superior. Es durante esta fase que el contenedor se mueve. Después de eso, solo se difundirá verticalmente.