Demostrar que $g(U_n)$ converge en probabilidad a $0$

Question

Sea $(\Omega,\Sigma,\mathbb{P})$ un espacio de probabilidad y $\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una colección de variables aleatorias tales que $U_n\sim \text{Unif}(0,n)$ (distribución uniforme) para todo $n\in\mathbb{N}$. Demuestra que si $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función Borel medible que satisface $\lim_{x\to \infty}|g(x)|=0$, entonces $g(U_n)$ converge en probabilidad a $0$.

Este es un ejercicio que se puede encontrar en la página 47 de este PDF.

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Sé que $\mathbb{P}(|g(U_n)|>\varepsilon )=n^{-1}\int _\mathbb{R} \mathbf{1}_{\{|g|>\varepsilon \}}(x)\mathbf{1}_{[0,n]}(x)dx$ para cualquier $\varepsilon >0$ y $n\in\mathbb{N}$, sin embargo no sé cómo continuar.

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¡Gracias por su atención!

Answer 1

Dado $\varepsilon>0$, existe $a>0$ tal que $$|g(x)|<\varepsilon,\qquad\text{siempre que}\quad x>a$$.

Se sigue que $$\{|g(U_n)|>\varepsilon\}\subset \{ U_n\leq a\}$$ Por lo tanto $$P[|g(U_n)|>\varepsilon]\leq P[ U_n\leq a]=\frac{\min(a,n)}{n}\xrightarrow{n\rightarrow\infty}0$$

Answer 2

Dado que $\vert g(x) \vert \to 0$ cuando $x \to \infty,$ entonces (con la eventual excepción de un conjunto nulo que no importa en cuanto a la integración se refiere), existe $n_\varepsilon \in \mathbb{N}$ tal que $\vert g(x) \vert < \varepsilon$ siempre que $x \geq n_\varepsilon.$ Entonces $$\mathbb{P}(|g(U_n)|>\varepsilon )=n^{-1}\int_\mathbb{R} \chi_{\{|g|>\varepsilon \}}(x)\chi_{[0,n]}(x)dx \leq \\ n^{-1} \int\chi_{[0, n_\varepsilon] \cap [0, n]}(x) dx \leq \frac{n_{\varepsilon}}{n}$$ para $n \in \mathbb{N}$ suficientemente grande. Dado que $\varepsilon$ está fijo, la última cantidad converge a $0$ a medida que $n \to \infty,$ por lo que $g(U_n)$ converge en probabilidad a $0.$ Espero que esto ayude. :)