Aunque estoy de acuerdo con Zhen Lin y Qiaochu comentarios, pensé que podría ser útil para dar algunos ejemplos clásicos donde se puede escribir un functor primero, y luego preguntarle si es representable. (Por supuesto, siempre se puede escribir algo que ya es representable para empezar, pero dudo que usted está interesado en eso.)
Ejemplo. Aquí están algunas de la abajo-a-tierra ejemplos de representable functors:
- El functor $X \mapsto \Gamma(X,\mathcal O_X)$ está representado por $\mathbb A^1$ (también denotado $\mathbb G_a$ en esta configuración).
- El functor $X \mapsto \Gamma(X,\mathcal O_X)^\times$ está representado por $\mathbb A^1 \setminus \{0\}$ (también denotado por $\mathbb G_m$).
- El functor $X \mapsto \operatorname{GL}_n(\Gamma(X,\mathcal O_X))$ es representado por un abierto subscheme de $\mathbb A^{n \times n}$: el nonvanishing locus de la determinante. Se denota simplemente por $\operatorname{GL}_n$. El caso de $n = 1$ da $\mathbb G_m$.
Sin duda, el más limpio enfoque algebraicas lineales de los grupos, y especialmente si usted desea considerar el grupo más general de los esquemas, es considerar la fppf poleas que definir. Por ejemplo, una secuencia de grupos algebraicos
$$1 \to G_1 \to G_2 \to G_3 \to 1$$
es exacta si es así como fppf las poleas. Dar una definición más términos geométricos es torpe para decir lo menos.
Ejemplo. Para darle un poco más interesante geométricas ejemplos de representable functors:
- La Picard esquema de $\operatorname{\mathbf{Pic}}_{X/k}$ representa un suitable1 Picard functor. Esto generaliza la noción de que el Jacobiano de una curva: para cualquier liso variedad proyectiva, el grupo de Picard tiene ahora un continuo de parte ($\operatorname{\mathbf{Pic}}_{X/k}^0$; el Jacobiano de $X$) y una parte diferenciada ($\operatorname{Pic}(X)/\operatorname{Pic}^0(X)$, el Néron–Severi grupo de $X$; para los de mayores dimensiones variedades de esta necesidad, no sólo la $\mathbb Z$).
- El esquema de Hilbert representa un functor que, a grandes rasgos, se asocia a una variedad de su familia de subvariedades. A veces, usted desea agregar algún numérico condiciones, por ejemplo, uno puede considerar la posibilidad de Hilbert esquemas de $n$-tuplas de puntos en $X$ (incluyendo la grasa de los puntos, contadas con multiplicidad), que es birational a $\operatorname{Sym}^n X$: son isomorfos en la parte donde el $n$ puntos son distintos.
- Cualquier módulos problema es un functor, y uno puede preguntarse si es representable. Esto es a menudo no es el caso, hasta que tire el francés truco de la definición de una clase más amplia de objetos (algebraicas, espacios o algebraicas pilas) donde esto es cierto. Por ejemplo, usted puede pedir el espacio de moduli de curvas de género $3$. El functor asigna a cada esquema de $X$ el conjunto de clases de isomorfismo de las familias $\mathscr C \to X$ cuyas fibras son suaves curvas proyectivas de género $3$.
Observación. Finalmente, se observa que la representatividad de functors es de ninguna manera una calidad que está reservado para la geometría algebraica! En cualquier categoría, usted puede preguntarse si un functor en es representable. Es un buen ejercicio para mantener los ojos abiertos para cualquier representable functors alrededor, especialmente cuando usted está tratando con fácil categorías (como abelian grupos, $R$-módulos, conjuntos, u otras categorías que son relativamente fáciles de describir).
Ejemplo. El olvidadizo functor $\operatorname{\underline{Ab}} \to \operatorname{\underline{Set}}$ está representado por $\mathbb Z$.
Ejemplo. El olvidadizo functor $\operatorname{\underline{Ring}} \to \operatorname{\underline{Set}}$ está representado por $\mathbb Z[x]$. (Comparar con el primer ejemplo que les he dado más arriba).
Ejemplo. El dualisation functor $\operatorname{\underline{Vect}}_k^{\operatorname{op}} \to \operatorname{\underline{Vect}}_k$ está representado por $k$. Este es un ligero abuso de lenguaje, ya que representable functors técnicamente tiene que ir a $\operatorname{\underline{Set}}$.
La mayoría de las dualidades son dadas por representable functors, a menudo por definición. De una forma menos trivial ejemplo, ver Hartshorne la definición de Serre dualidad: el functor es $H^n(X, (-))^*$, y la representación de objeto es $\omega_X^\circ$.
Ejercicio. Uno de mis ejemplos favoritos es el functor $\operatorname{\underline{Top}}^{\operatorname{op}} \to \operatorname{\underline{Set}}$ que se asocia a un espacio topológico $(X, \mathcal T)$ la topología $\mathcal T$, y un mapa continuo $X \to Y$ el inverso de la imagen de mapa de $\mathcal T_Y \to \mathcal T_X$. Trate de anotar un espacio topológico que representa este functor (que existe!).
(Creo Zhen Lin podría haber dicho a mí este ejemplo, cuando yo estaba aprendiendo acerca de representable functors.)
1Defining la correcta functor no es tan obvio, y hay varias cosas diferentes que la gente podría decir por Picard esquema. La noción más débil es la representatividad de la fppf sheafification de la presheaf $U \mapsto \operatorname{Pic}(U)$.
