¿Es la topología estándar en $\mathbb{R}$ un subconjunto de la topología del límite inferior $\mathbb{R_\mathcal{l}}$?

Question

¿Es la topología estándar en $\mathbb{R}$ un subconjunto de la topología de límite inferior $\mathbb{R_\mathcal{l}}$?

Sea $\mathcal{T_l}$ la topología de límite inferior en $\mathbb{R}$, y sea $\mathcal{T_s}$ la topología estándar en $\mathbb{R}$.

Entonces sea $\mathcal{B}$ la base para la topología de límite inferior y $\mathcal{A}$ la base para la topología estándar en $\mathbb{R}$. Entonces $\mathcal{B} = \{ \ [a, b) \ | \ a, b \in \mathbb{R} \}$ y $\mathcal{A} = \{ (a, b) \ | \ a, b \in \mathbb{R}\}$.

Ahora, hay un lema bien conocido que una topología $\mathcal{O}$ es igual a la colección de todas las uniones de sus elementos de la base.

Entonces sea $\mathcal{K}$ una subcolección arbitraria de $\mathcal{A}$, entonces $\mathcal{K} \subset \mathcal{A}$, y algún $U \in \mathcal{T_s} = \bigcup_{K \in \mathcal{K}} K$, donde $K = (a, b)$ para algún $a, b \in \mathbb{R}$

Nuevamente sea $\mathcal{J}$ una subcolección arbitraria de $\mathcal{B}$, entonces $\mathcal{J} \subset \mathcal{B}$, y algún $U \in \mathcal{T_l} = \bigcup_{J \in \mathcal{J}} J$, donde $J = [a, b)$ para algún $a, b \in \mathbb{R}$

Lema: Cada elemento de base $O \in \mathcal{O}$ es un elemento de la topología $\mathcal{T}$ que genera, (he puesto este lema aquí ya que lo uso en mi argumento a continuación implícitamente)

Para mostrar $\mathcal{T_s} \subset \mathcal{T_l}$, necesitamos demostrar $U \in \mathcal{T_s} \implies U \in \mathcal{T_l}$.

Pero toma $U = (a, b) \in \mathcal{T_s}$, entonces $U \not\in \mathcal{T_l}$ porque ninguna unión de conjuntos $[a, b) \in \mathcal{B}$ será igual a $(a, b)$. Es claro que $(a, b) \subset [a, b)$, pero $(a, b) \in \mathcal{T_s} \not\Rightarrow (a, b) \in \mathcal{T_l}$ (de hecho $\mathcal{T_l}$ no contiene ningún conjunto de la forma $(a, b)$, corríjame si estoy equivocado por favor). Entonces, ¿cómo puede ser cierto que $\mathcal{T_s} \subset \mathcal{T_l}$?

Answer 1

Estás equivocado en que $(a,b)$ no se pueda escribir como una unión de conjuntos de la forma $[a,b)$. Puedes escribir

$$(a,b)=\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b).$$

edit: Como se ha señalado, esto es bajo la "convención" de que $[a,b)=\varnothing$ si $a\geqslant b$. Si no te gusta definir las cosas de esta manera, entonces todo lo que necesitas hacer es elegir un entero $N>\frac{1}{b-a}$, de manera que $a+\frac{1}{N}

$$(a,b)=\bigcup_{n=N}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b).$$

Answer 2

Cada conjunto $(a,b)$ es abierto en la topología del límite inferior: si $x \in (a,b)$ entonces $x \in [x,b) \subseteq (a,b)$, por lo que $x$ es un punto interior de $(a,b)$. O equivalentemente, $(a,b) = \cup\{[x,b): x \in (a,b)\}$, por lo que $(a,b)$ es una unión de conjuntos abiertos de límite inferior.