¿Qué enteros tienen orden $6 \pmod {31}$? El orden de $a \pmod {m}$ es el menor $t$ tal que $ a^{t} \equiv1 \pmod {m}$. También sé que esto significa que $x^{6}\equiv 1\pmod {m}$, pero no sé qué hacer a partir de aquí.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Did
Puntos
1
Pistas:
- $x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$
- $x^2+x+1=(x-5)(x+6)\pmod{31}$
- $x^2-x+1=(x+5)(x-6)\pmod{31}$
- Por lo tanto, $x^6=1\pmod{31}$ si y solo si $\prod\limits_{a\in A}(x-a)=0\pmod{31}$ donde $A=\{\pm1,\pm5,\pm6\}$
Finalmente, el conjunto de soluciones de la ecuación $x^6=1\pmod{31}$ es $____$ $+31\mathbb Z$.
Editar: Una vez dominado este enfoque de baja tecnología, se puede notar que $A$ lista exactamente los divisores de $31-1=30$ y buscar algún resultado general que explique esta "coincidencia".
Dado que $31$ es un número primo,
debe tener al menos una raíz primitiva $g\iff $ord$_{31}g=31-1=30$.
Desde este, $\displaystyle\text{ord}_{31}(g^x)=\frac{30}{(30,x)}$ donde $x$ es un entero positivo
Así que, necesitamos $(30,x)=5\implies x=5,25$
Ahora, dado que $2^5=31\equiv1\pmod {31}\implies $ord$_{31}2=5<30\implies 2$ no es una raíz primitiva $\pmod{31}$
Dado que $3^1=3,3^2=9,3^3=27\equiv-4\pmod{31},3^5=3^3\cdot3^2\equiv(-4)\cdot9\equiv-5,$ $3^6=(3^3)^2\equiv(-4)^2\equiv16,3^{10}=(3^5)^2\equiv(-5)^2\equiv25\equiv-6,$ $3^{15}=(3^5)^3\equiv(-5)^3\equiv-125\equiv-1$
$\implies 3$ es una raíz primitiva $\pmod {31}\iff \text{ord}_{31}3=30$
Por lo tanto, necesitamos encontrar $3^5,3^{25}\pmod{31}$ ya que uno de los valores de $g$ es $3$
Ya hemos encontrado que $3^5\equiv-5\pmod{31}$
y $3^{25}=3^{10}\cdot3^{15}\equiv (-6)(-1)\pmod{31}\equiv6$
