Sea $[a,b] \subseteq \Bbb R$, sea $f_n:[a,b] \to \Bbb R \space\space$ tal que $\forall n>0 \space\space f_n$ es uniformemente continua en $[a,b]$. Sea $f:[a,b] \to \Bbb R$, Supóngase que $f_n \to f \space$ entonces $f\space$ también es uniformemente continua en $[a,b]$
Esta es una pregunta que me vino a la mente cuando estaba mirando una demostración de esto donde $f_n \rightrightarrows f$.
Me di cuenta de que la afirmación no es verdadera en este caso porque es convergencia en media, pero no estoy seguro de dónde falla la demostración que menciono abajo, y por qué no falla en el caso de la convergencia uniforme. Cualquier explicación sería de gran ayuda.
Prueba incorrecta: sea $\epsilon > 0\space$, $f_n$ es uniformemente continua por lo que existe $\delta_0 > 0$ tal que para todo $x,y \in [a,b]$ si $|x-y| < \delta_0$ entonces $|f_n(x) - f_n(y)| < \frac{\epsilon}{3}$
definir $\delta = \delta_0$ sea $x,y \in [a,b]$ tal que $|x-y| < \delta$. dado que $f_n \to f$ entonces existe $N_{0} \in \Bbb N \space\space , N_{0}>0$ tal que para cada $n \geq N_{0}$. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3}$
Y existe $N_{1} \in \Bbb N \space\space , N_{1}>0$ tal que para cada $n \geq N_{1}$. $|f_n(y) - f(y)| < \frac{\epsilon}{3}$
sea $n = \max\{N_{0}, N_{1} \} + 1$, Entonces: $$|f(x) - f(y)| = |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(y) + f_n(y) - f(y)| \\\ \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(y)| + |f_n(y) - f(y)| < 3\frac{\epsilon}{3} = \epsilon$$
