Probar que $\cdot : GL_2(\mathbb{R}^2) \, \times \, Bil(\mathbb{R}^2) \rightarrow Bil(\mathbb{R}^2)$ es una acción

Question

Sea $Bil(\mathbb{R}^2)$ la colección de todas las formas bilineales en $\mathbb{R}^2$. Necesito demostrar que $GL_2(\mathbb{R}^2)$, el grupo lineal general, actúa en $Bil(\mathbb{R}^2)$ usando la fórmula $$[g \, \cdot \, B](u,v) = B(g^{-1}u, g^{-1}v)$$ para todo $g \in GL_2(\mathbb{R}^2)$, $B \in Bil(\mathbb{R}^2)$, y $u,v \in \mathbb{R}^2$. Es decir, necesito demostrar que el mapeo $\cdot : GL_2(\mathbb{R}^2) \, \times \, Bil(\mathbb{R}^2) \rightarrow Bil(\mathbb{R}^2)$ es una acción.

Nunca he demostrado que un mapeo sea una acción, así que estoy bastante perdido en cómo usar esta fórmula para demostrar los axiomas que una acción debe satisfacer, es decir, asociatividad e identidad.

Answer 1

Identidad: Supongamos que $e \in GL_{2}(\mathbb{R})$ es la transformación identidad. Entonces $e^{-1}$ también es la transformación identidad. Podemos ver fácilmente que

$$ [e \cdot B](u,v) = B(e^{-1}u,e^{-1}v) = B(u,v)$$

Así que $e \cdot B = B$, por lo que los elementos identidad del grupo lineal general actúan trivialmente en el espacio de formas bilineales.

Asociatividad: Sean $g,h \in GL_{2}(\mathbb{R})$. Nos gustaría demostrar que para todos los pares de vectores $u,v \in \mathbb{R}^2$,

$$[(gh) \cdot B](u,v) = [g \cdot [h \cdot B]](u,v)$$

¿Puedes desenredar las definiciones para mostrar que esto es cierto?