El álgebra de Lie de un grupo algebraico

Question

Tengo una pregunta sobre diferentes visiones del álgebra de Lie de un grupo algebraico. Para ser más específicos, sea $G = \operatorname{Spec}(H)$ un grupo algebraico suave (finitamente generado) sobre un campo $\mathbb{K}$. Denotamos por $\epsilon : H \to \mathbb{K}$ a la counit. La definición del álgebra de Lie de $G$ que he visto es la siguiente: introducir $H^+ := ker(\epsilon)$ y luego definir: \begin{equation*} \mathfrak{g}^* := \frac{H^+}{{H^+}^2} \end{equation*} El álgebra de Lie de $G$ se define entonces como: \begin{equation*} \mathfrak{g} := Hom_{\mathbb{K}}(\mathfrak{g}^* ,\mathbb{K}) \cong Der_{\epsilon}(H,\mathbb{K}) \end{equation*}

donde $Der_{\epsilon}(H,\mathbb{K})$ es el conjunto de derivaciones relativas a la counit, es decir, aplicaciones lineales $\xi : H \to \mathbb{K}$ tales que $\xi (hh') = \xi(h) \epsilon (h') + \epsilon(h) \xi(h')$ para todo $h,h' \in H$.

De alguna manera, el álgebra de Lie se define como un conjunto de derivaciones, lo que me hace sentir una relación con el espacio tangente en la unidad o el conjunto de campos vectoriales invariante por la izquierda como en el caso de los grupos de Lie. Sin embargo, no puedo hacer esas afirmaciones precisas.

¿Podría alguien por favor intentar explicar la intuición detrás de esas definiciones?

Answer 1

Sea $X = \text{Spec } R$ un esquema afín sobre un campo $K$ y sea $x \in X$ un punto $K$, representado por un homomorfismo de evaluación $e_x : R \to K$, cuyo núcleo es un ideal maximal $m_x$. El espacio cotangente de Zariski de $X$ en $x$, que podemos denotar como $T_x^{\ast}(X)$, es el cociente $m_x/m_x^2$, y el espacio tangente de Zariski $T_x(X)$ es su dual lineal sobre $(m_x/m_x^2)^{\ast}$.

Como dices, esto se puede identificar con un espacio adecuado de derivaciones, y entonces la definición que das del álgebra de un grupo algebraico es precisamente el espacio tangente de Zariski en la identidad.

Aquí hay otra forma de pensar en esta definición que creo que es más intuitiva. A grandes rasgos, un par $(x, v)$ que consiste en un punto y un vector tangente en ese punto es una "familia uniparamétrica infinitesimal de puntos". En geometría algebraica es posible precisar completamente esto, considerando puntos sobre $K[\varepsilon]/\varepsilon^2$, o equivalentemente homomorfismos $R \to K[\varepsilon]/\varepsilon^2$. Si escribes explícitamente lo que es un homomorfismo de este tipo, es exactamente un par que consiste en el homomorfismo de evaluación $e_x : R \to K$ en un punto $K$ junto con una derivación $D_x$ con respecto a $e_x$ (más precisamente, el homomorfismo es $e_x + \varepsilon D_x$). Así que puedes definir todo el haz tangente a la vez como el conjunto de homomorfismos $R \to K[\varepsilon]/\varepsilon^2$ (esto se puede mejorar a un esquema pero no lo necesitamos aquí). Esto tiene un mapeo natural de cociente al conjunto de puntos $K$ $R \to K$, y luego podemos definir el espacio tangente en un punto como la fibra de este mapeo sobre un punto dado. Esto es equivalente a la definición anterior. Tampoco requiere que $X$ sea afín.