Probabilidad de recibir cuatro cartas del mismo valor en un conjunto de $5$ cartas?

Question

Se te reparte una mano de cinco cartas de una baraja estándar de naipes. Encuentra la probabilidad de que te repartan una mano que consista en cuatro cartas del mismo valor.

Si es posible, por favor proporciona una pista antes de dar la respuesta.

Una de las primeras cosas que se me ocurrió fue $\dfrac{52}{52} \cdot \dfrac{51}{51} \cdot \dfrac{3}{50} \cdot \dfrac{2}{49} \cdot \dfrac{1}{48}$ pero por supuesto, estaba equivocado.

Luego, me di cuenta de que la tercera carta podría ser la misma que la primera O la segunda carta, así que intenté $\dfrac{52}{52} \cdot \dfrac{51}{51} \cdot \dfrac{7}{50} \cdot \dfrac{2}{49} \cdot \dfrac{1}{48}$, lo cual también está equivocado.

Después me di cuenta de que probablemente necesitamos sumar las probabilidades de situaciones donde la primera carta es la que no coincide, o la segunda es la que no coincide, etc. Creo que este método lleva a la solución, pero no creo que estemos destinados a resolverlo de esta manera. Creo que la solución se parece a algo como $\dfrac{x}{ {{52}\choose{5}}}$, pero no estoy seguro de qué debe estar en el numerador.

Answer 1

Primero, porque hay 13 conjuntos de cuatro iguales, el número de formas de seleccionar uno de los 13 rangos es $\begin{pmatrix}13\\1\end{pmatrix}$
Luego, una vez que hayas elegido el rango, el número de formas de sacar las otras tres cartas de ese rango es $\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$
Finalmente, el número de formas de sacar la última carta, que es elegir entre otras 48 cartas: $\begin{pmatrix}48\\1\end{pmatrix}$
El número de posibles manos de 5 cartas repartidas de una baraja de 52 cartas es $\begin{pmatrix}52\\5\end{pmatrix}$
Entonces la respuesta final es:$$\frac{\begin{pmatrix}13\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}48\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}52\\5\end{pmatrix}}$$

Answer 2

${\underline{\textbf{Consejo útil para el futuro:}}}$

En el dibujo sin reemplazo (distribución hipergeométrica)

cuando el orden no importa $(= \mathtt{desordenado})$, usar combinaciones da la respuesta directamente:

$$\text{por ejemplo, para tu pregunta}\;\; \frac{\binom{13}1\binom44\binom{48}1}{\binom{52}{5}}$$

mientras que si el orden sí importa $(= \mathtt{ordenado})$, multiplicar probabilidades da la respuesta directamente,

$$\text{por ejemplo, si el "único" debe ser segundo},\;\; \frac{52}{52}\cdot\frac{48}{51}\cdot\frac3{50}\cdot\frac2{49}\cdot\frac1{48}$$

y si eliges usar el otro proceso, (lo cual puedes)
debes usar un factor de multiplicación/división para compensar.

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Por eso, dado que el orden no importa para tu pregunta,

si usas el enfoque de multiplicar probabilidades, debes multiplicar por $5$

Answer 3

Puedes calcular el número de sorteos ordenados o el número de combinaciones desordenadas de cinco cartas. La probabilidad será la misma siempre y cuando el denominador se calcule de la misma manera. Tu última oración es correcta para las combinaciones desordenadas, por lo que $x$ debería ser el número de manos desordenadas que contienen cuatro cartas iguales. ¿Cuántas formas hay de seleccionar el rango del que tienes cuatro? ¿Cuántas formas hay de seleccionar la carta impar, dado que el rango de cuatro ya está elegido?

Tu enfoque anterior está intentando contar las formas ordenadas de sacar la mano, por eso el denominador resulta ser $52 \cdot 51 \dots 48$. En ese caso, puedes calcular primero las formas ordenadas de sacar las cuatro cartas iguales, y luego multiplicar por las $5$ posiciones en las que puede estar la carta impar.

Answer 4

Suponiendo que todas las ${52 \choose 5}$ posibles manos de póker de cinco cartas tienen la misma probabilidad, la probabilidad de recibir 4 cartas del mismo valor es la razón $x / {52 \choose 5}$, donde $x$ es el número de manos de póker de cinco cartas que contienen 4 cartas del mismo valor. Por ejemplo, una mano de póker que contribuye a $x$ es $\{2,2,2,2,Q\}$. El número de formas de elegir el valor es ${13 \choose 1}=13$, y el número de formas de elegir la carta impar es el número de formas de elegir una carta de las 48 restantes, que es ${48 \choose 1}=48$. Entonces $x=13 \cdot 48$.

Answer 5

La explicación más sencilla podría ser la siguiente: hay ${52}\choose{4}$ posibles combinaciones de 4 cartas en una baraja de 52. Luego, con 5 cartas, puedes tener 13 * 5 posibles manos de cuatro cartas del mismo valor. Divide el segundo por el primero.