Representación 2x2 para el triplete de Higgs

Question

Estoy perplejo por la representación $2\times 2$ del Higgs que se encuentra en los modelos de triplete Higgs y modelos simétricos izquierda-derecha. Si

$\vec{\phi}=(\phi^{++},\phi^{+},\phi^{0})\in(3,0)$ es el triplete de Higgs escalar, ¿se puede mostrar que el término de masa Majorana totalmente invariante bajo gauge para los leptones zurdos se da por $f_{\alpha\beta} L^{T}_{L\alpha }C^{-1}i\tau_{2}\Delta L_{L\beta}$ donde $L_{L}$ son los campos de leptones zurdos, y lo más importante, $\Delta$ es la representación $2\times 2$ para el triplete de Higgs dada por $\Delta=\vec{\phi}.\vec{\tau}$. ¿Por qué necesitamos la representación $2\times 2$ para el triplete de Higgs? ¿Estoy perdiendo algún fundamentos de teoría de grupos aquí?

Answer 1

Es pura teoría de grupos. En la teoría electrodébil normal, la interacción de Yukawa (que es lo que siempre produce los términos de masa fermiónicos después de la ruptura de simetría - después de que el Higgs obtiene un vev) es simplemente (esquemáticamente) $$ h_2 \cdot L_{L2} \cdot L_{R1} $$ donde el Higgs $h_2$ y los leptones zurdos $L_L$ son dobletes (contractionados entre sí) y el lepton derecho es un singlete.

Quieres una teoría más compleja donde el Higgs es un triplete del grupo débil $SU(2)$. Los leptones son a lo sumo dobletes, por lo que la única forma de obtener un escalar (lagrangiano) es contractionando el triplete de Higgs con dos dobletes.

Por eso necesitas dos copias de los fermiones zurdos (no uno izquierdo más uno derecho - los tipos derechos son singletes) y el término de masa resultante es un término de masa de Majorana (no un término de masa de Dirac). La teoría de grupos de la contraction de un triplete, doblete, doblete es equivalente a $$ S^\dagger \cdot (\vec V_3\cdot \vec \sigma) \cdot R $$ Así que es una matriz $2\times 2$ creada a partir del triplete/vector $\vec V_3$ sandwiched entre dos dobletes. Nota que $\vec V_3\cdot \vec \sigma$ con el vector de matrices de Pauli es simplemente una forma de escribir un triplete como una matriz $2\times 2$, la única forma.

En tu fórmula, $f_{\alpha\beta}$ son solo los coeficientes y la parte $i\sigma^2$ y $C^{-1}$ es necesaria para la eliminación de la conjugación compleja. Sabes, el triplete de las matrices de Pauli nos da naturalmente matrices es decir, una parte de la representación $2\otimes {\bar 2}$. Sin embargo, queremos que esté en la base de $2\otimes 2$ sin una conjugación. $2$ es isomórfico a $\bar 2$ pero para obtener los componentes correctos, siempre necesitamos jugar con $\sigma^2$.

Es conveniente reescribir el triplete como una matriz $2\times 2 porque el término de Yukawa (que da lugar al término de masa para los fermiones después de un vev de Higgs) se puede escribir como un bonito elemento matriz de estilo $\vec u \cdot M \cdot \vec v$ que los físicos conocen muy bien. Si no usáramos la matriz, tendríamos que usar los coeficientes $$ K_{a,b,c} $$ donde $a=1,2,3$ mientras que $b,c=1,2$ y recordar muchos de los valores en este tensor. Sin embargo, con la reescritura de la matriz, podemos trabajar con productos de matrices bien conocidos complementados por $C^{-1}$ y $\sigma$.