Una secuencia con términos sucesivos que se acercan arbitrariamente entre sí y que no es de Cauchy

Question

Específicamente, estoy tratando de encontrar una secuencia $x_n$ con la diferencia de términos sucesivos menor que $1/n^2$ para todos los enteros positivos $n$ que no sea de Cauchy: $|x_{n+1}-x_n|<1/n^2$.

Pensé en probar alguna variación que involucre el logaritmo de $n$, pero no puedo hacer que funcione correctamente.

Answer 1

$\frac{1}{n}$ funciona perfectamente (si esta es la distancia entre términos sucesivos, la distancia se vuelve arbitrariamente pequeña pero la secuencia no es de Cauchy). Si quieres que tu distancia disminuya como $\frac{1}{n^2}$, mediante el test de integral tu secuencia convergerá y por lo tanto será de Cauchy.