Ideales maximales de un subanillo

Question

¿Cuáles son los ideales maximales de $R_5=\{x\in\mathbb{Q}|x=a/b,5\nmid{b},a,b\in\mathbb{Z} \}\subset\mathbb{Q}$? Estoy pensando que son de la forma $R_5(x)$ con x$\in\mathbb{Z}$ ya que si $I$ es un ideal maximal entonces $I=R_5(a/b)$ pero $a/b=a*1/b$ y $b,1/b\in R_5$. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Ese es un paso en la dirección correcta, sin embargo, no todos los $xR_5$ son ideales maximales, de hecho solo hay un $x$ que cumple esto.

Para ver esto:

Considera intersecciones de la forma $\mathfrak a = \mathfrak m \cap \mathbb Z$, para un ideal maximal $\mathfrak m$ de $R_5$. ¿Qué puedes decir acerca de $\mathfrak a$?

Luego considera el ideal $\mathfrak a R_5$. ¿Es este primo/maximal? ¿Qué puedes decir acerca de los elementos que no están contenidos en $\mathfrak a R_5$?