Encontrando el inverso de un polinomio en un campo

Question

Tengo problemas con el procedimiento para encontrar el inverso de un polinomio en un campo. Por ejemplo, toma:

En $\frac{\mathbb{Z}_3[x]}{m(x)}$, donde $m(x) = x^3 + 2x +1$, encuentra el inverso de $x^2 + 1$.

Entiendo que se necesita usar el Algoritmo (Extendido) de Euclides e Identidad de Bezout. Esto es lo que tengo actualmente:

Procediendo con el algoritmo de Euclides:

$$ x^3 + 2x + 1 =(x^2 + 1)(x) + (x + 1) \\\\ x^2 + 1 = (x + 1)(2 + x) + 2$$

Paramos aquí porque 2 es invertible en $\mathbb{Z}_3[x]$. Lo reescribimos usando una congruencia:

$$(x+1)(2+x) \equiv 2 \mod{(x^2+1)}$$

No entiendo los conceptos de alto nivel suficientemente bien y estoy perdido a partir de aquí. ¿Algún pensamiento?

Wikipedia tiene una página sobre esto con una explicación decente, pero aún no está claro en mi mente.

Nótese que esta pregunta tiene casi el mismo título, pero es a un nivel de abstracción superior. No me ayuda, ya que no entiendo los conceptos básicos.

Gracias.

Answer 1

Con la siguiente identidad, afirmaría que el inverso modular de $(1 + x^2) \mod (1 + 2 x + x^3)$ es $1/2 (2 + x + x^2 + x^3)$, siempre y cuando $x$ sea par.

$$1/2 (2 + x + x^2 + x^3) (1 + x^2) - 1/2 x (1 + x) (1 + 2 x + x^3) = 1$$

Por ejemplo, si $x=20$, entonces $1 + x^2 = 401$, $1 + 2 x + x^3 = 8041$, $1/2 (2 + x + x^2 + x^3) = 4211$, y $(401)^(-1) mod 8041 = 4211$.