La notación
- Deje $[n]$ denota el conjunto de los números enteros desde el 1 hasta el $n$, inclusive.
- Deje $A_n$ denotar el promedio de número de bloques a través de todas las particiones de $[n]$.
- Deje $B_n$ denotar el número de particiones de $[n]$ ($n$th Campana número).
Pregunta
Para cualquier $n \geq 1$, cuan pequeña $m$ ser (como una función de la $n$) y asegurarse de $$ A_{n-m} + 1 < A_n$$ (o, equivalentemente, $$ \frac{B_{n+1-m}}{B_{n-m}} < \frac{B_{n+1}}{B_n}-1)? $$
Comentarios
El lado izquierdo de la desigualdad proviene de la fijación de un determinado bloque de tamaño $m$ y considerando todas las particiones de $[n]$ que contiene ese bloque fijo. La idea es que si la partición contiene un solo gran bloque, se espera que el número de bloques debe caer. Para mis propósitos, los valores más pequeños de $m$ son superiores, pero me interesaría ver nada.
El siguiente razonamiento me llevó a creer $m = \lceil n / A_n \rceil$ sería lo suficientemente grande. El tamaño promedio de un bloque en una partición de $[n]$ es en la mayoría de las $\lceil n / A_n \rceil$. Tener un único más grande que la media del bloque debe reducir el promedio de número de bloques que aparecen en dicha partición. Explorar con Maple muestra $\lceil n / A_n \rceil$ no es muy grande es suficiente para establecer la desigualdad, sino $\lceil n / A_n \rceil + 1$ trabaja para $n \leq 500$.
Sigo mencionando los promedios porque tengo la esperanza de que hay una rápida prueba de la clase que he tratado en el párrafo anterior. Si ese punto de vista no es útil, no es la alternativa a la declaración de la desigualdad en términos de números de Bell. Esta expresión puede posiblemente ser analizado asintóticamente (a pesar de que la Moser-Wyman expansión falla aquí), pero yo era más bien con la esperanza de evitar. Aún así, cualquier sugerencia en este sentido son bienvenidos.
