Estoy luchando con el siguiente ejercicio:
Sea $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ un espacio de probabilidad y $X,Y$ dos variables aleatorias con valores reales tales que sus funciones de distribución acumulada correspondientes $F_X$ y $F_Y$ son continuas y estrictamente monótonas crecientes. Además, asumimos que $(X,Y)\sim(q_X^-(U),q_Y^-(U)), donde la variable aleatoria $U$ está distribuida uniformemente en $(0,1)$. Demuestra que en este caso $$ VaR_\lambda(X+Y)=VaR_\lambda(X)+VaR_\lambda(Y) $$
Mi idea: Dado que $F_X$ y $F_Y$ son continuas y estrictamente monótonas crecientes, existen funciones inversas continuas $F_X^{-1}$ y $F_Y^{-1}$ de $F_X$ y $F_Y$ tales que $VaR_\lambda(X)=F^{-1}_X(\lambda)$ y $VaR_\lambda(Y)=F^{-1}_Y(\lambda)$. Mi problema principal es que en realidad no sé qué significa $(X,Y)\sim(q_X^-(U),q_Y^-(U))$ (donde $q_X^-(\lambda)$ es el cuantil inferior de $\lambda$) o cómo lidiar con esto. Una cosa que vi es que para un $U$ distribuido uniformemente en $(0,1)$, tenemos que $F(X)=\mathbb{P}(U\leq F(X))=\mathbb{P}(q(U)\leq x)$. No estoy seguro si esto es correcto en este contexto o si es útil, pero estas son las únicas aproximaciones que tengo hasta ahora.
Gracias por tu ayuda.
