Prueba matemática de la paradoja de Olber

Question

¿Existe una prueba matemática respecto al Paradox de Olbers?

Para mí, esta parece ser un falso paradox ya que pienso que es POSIBLE tener un Universo infinito (en espacio y en tiempo) con un número infinito de estrellas, espaciadas de forma homogénea pero donde hay muchos rayos en el cielo que nunca intersectan una estrella. Es decir, el cielo será mayormente oscuro.

Matemáticamente, consideremos $\mathbb{R}^3$ como el espacio, y un número infinito (pero contable) de bolas de longitud unitaria $B_i = \{x\in\mathbb{R}^3: \|x-c_i\| \leq 1\}$ para centros especificados. ¿Podemos distribuir las bolas infinitas de forma homogénea en el espacio infinito de manera que tendremos al menos un rayo (una semirrecta que comienza en el origen) que nunca interseca alguna de esas bolas?

¡Mi intuición (que está equivocada más de la mitad del tiempo) me dice que sí podemos! Pero muchas fuentes en línea parecen afirmar que no podemos y utilizan este hecho para demostrar que ya sea el universo es finito en espacio o en tiempo (o en ambos)

¿Existe una prueba matemática para esta formulación matemáticamente simple del paradox de Olbers?

Answer 1

Si las bolas se distribuyen aleatoriamente con uniformidad estadística en el espacio, y examinamos alguna cáscara esférica de cierto ancho, podemos decir que en promedio las bolas ocuparán alguna fracción $F$ del área transversal de la cáscara (vista desde la Tierra). La probabilidad de que un rayo atraviese la cáscara sin intersectar una bola será entonces $1-F$. Pero ahora el rayo tiene que atravesar una segunda cáscara, y esa probabilidad también será $1-F$, y así sucesivamente. Por lo tanto, la probabilidad de que un rayo atraviese $N$ cáscaras es $(1-F)^N$. Dado que $1-F<1$, esta probabilidad tiende a cero a medida que N tiende a infinito. Parecería entonces que, dado una distribución infinita, homogénea y estadísticamente aleatoria de estrellas, casi todos los rayos intersectarán una estrella en algún punto. Puede haber algún conjunto de rayos que lleguen "todo el camino a la infinitud" pero ese conjunto seguramente será de medida cero.

Ahora, como un problema puramente matemático, podría haber muchas formas de organizar las estrellas de forma homogénea para que haya grandes áreas oscuras en el cielo nocturno. Tal vez podríamos organizar las estrellas en algún tipo de red cristalina o cuasiperiódica, por ejemplo. Pero, físicamente, ninguna disposición de ese tipo sería estable; tal disposición duraría solo por poco tiempo, cediendo rápidamente a alguna distribución aleatoria. Y de hecho no hay evidencia de que las estrellas, galaxias, etcétera, alguna vez estuvieran dispuestas de esa manera. Así que para discutir el paradigma de Olbers como un problema físico verdadero, tenemos que lidiar con una distribución aleatoria. Y creo que esto elimina prácticamente cualquier arreglo que cualquier matemático determinado pudiera proponer para evadir el paradigma.