Demostrando que $SL_2(\Bbb R)$ no tiene representaciones unitarias finitas no triviales usando estas pistas

Question

Mostrar que $G=SL_2(\Bbb R)$ no tiene representaciones unitarias de dimensión finita excepto la trivial. Sea $A(t)=\begin{pmatrix}1 &t\\0 &1\end{pmatrix}, \forall t \in \Bbb R$ . Pasos a seguir: (1) Para $m \in \Bbb N$ muestra $$\begin{pmatrix}m &0\\0 &m^{-1}\end{pmatrix} A(t){\begin{pmatrix}m&0\\0 &m^{-1}\end{pmatrix}}^{-1}=A(m^2t)={A(t)}^{m^2}$$ (2) Deja que $\phi : G \to U(n)$ sea una representación. Muestra que los autovalores de $\phi(A(t))$ son una permutación de sus potencias $m$-ésimas para todo $m \in \Bbb N$ . Concluye que todos deben ser iguales a 1.

(3) Muestra que el subgrupo normal de $G$ generado por $\{A(t):t \in \Bbb R\}$ es todo el grupo.

He verificado el cálculo en el Paso(1)

Pero estoy un poco confundido acerca de la afirmación hecha en el Paso (2). ¿Qué quieren decir realmente los autores con "los autovalores de $\phi(A(t))$ son una permutación de sus potencias $m$-ésimas para todo $m \in \Bbb N$"?

EDICIÓN: Y para el Paso (3), según el comentario de Derek Holt en una pregunta relacionada: El grupo $PSL_2()$ es simple para cualquier campo $$ con $||>3$, así que en particular $PSL_2()$ es simple. Entonces los únicos subgrupos normales de $SL_2()$ son el grupo trivial, el grupo entero y su centro $\{\pm I_2\}$. Por lo tanto, el subgrupo normal generado por $()$ es de hecho todo el grupo.

Y para la conclusión, los comentarios de Exodd la resuelven completamente.

Gracias a todos por discutir y ayudarme a resolver esta pregunta :)

Solo un comentario breve: Hay afirmaciones como "Una representación irreducible de dimensión finita de un grupo de Lie simple no compacto de dimensión mayor que 1 nunca es unitaria", lo que daría el resultado inmediatamente, ¡pero quiero demostrar la afirmación en la pregunta SOLAMENTE como en las instrucciones/pistas dadas en la pregunta!

Answer 1

Necesitas usar $2$ para mostrar que los eigenvalores de $\phi(A(t))$ son $1$, sabemos que $\phi(A(t))$ y $\phi(A(t))^{m^2}$ tienen los mismos eigenvalores. Sea $c$ un eigenvalor de $\phi(A(t))$, para cada entero positivo $c^{m^2}$ es un eigenvalor de $\phi(A(t))$ ya que el número de eigenvalores de $\phi(A(t))$ es finito, existe un $n\neq m$ tal que $c^{n^2}=c^{m^2}$ deducimos que el orden de $c$ es finito. Sea $N$ un múltiplo del orden de los eigenvalores de $\phi(A(t))$. Los eigenvalores de $\phi(A(t))^{N^2}$ son los eigenvalores de $\phi(A(t))$ y son $1$ ya que son la potencia $N^2$ de los eigenvalores de $A(t)$, deducimos que los eigenvalores de $A(t)$ son $1$.