Verifique los axiomas de una categoría extraña

Question

Este ejercicio me pide verificar el axioma de una categoría definida de una manera muy extraña:

Defina una categoría $\mathcal{C}$ de la siguiente manera:

$(1)$ Solo hay un objeto $*$;

$(2)$ El conjunto de morfismos $Mor(*,*)$ consiste en términos algebraicos $t:=x_{0}|f(t)|g(t,t)$, donde $x_{0}$ es una variable dada y $f, g$ son dos símbolos de función dados;

$(3)$ La ley de composición es una substitución definida recursivamente como $t(t')$, donde $t'$ reemplaza $x_{0}$ en $t$.

Luego, el ejercicio me pide verificar los axiomas y describir el conjunto de todos los isomorfismos $Iso(*,*)$.

Bueno, el primer axioma es trivialmente verdadero ya que solo hay un objeto.

Luego solo necesitamos verificar la existencia del elemento identidad de dos lados en $Mor(*,*)$ y verificar la asociatividad de la composición.

Dado que la construcción de la composición es muy extraña, intenté calcular una composición para ver qué estaba pasando. Sin embargo, después del cálculo, no tenía ni idea de si esta composición estaba bien definida.

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Para $t_{1}, t_{2}\in Mor(*,*)$, por definición tenemos $$t_{1}:=x_{0}|f(t_{1})|g(t_{1}, t_{1})\ \text{y}\ t_{2}:=x_{0}|f(t_{2})|g(t_{2}, t_{2}),$$ por lo que con la construcción de la ley de composición, tenemos \begin{align*} t_{2}\circ t_{1}:=t_{2}(t_{1})&=t_{1}|f(t_{2})|g(t_{2}, t_{2})\\ &=x_{0}|f(t_{1})|g(t_{1}, t_{1})|f(t_{2})|g(t_{2}, t_{2})\\ &=x_{0}|f(t_{2})f(t_{1})|g(t_{2}, t_{2})g(t_{1}, t_{1}). \end{align*}

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Sin embargo, aún necesito mostrar $|f(t_{2})f(t_{1})|=|f(t_{2}\circ t_{1})|$ y $g(t_{2}, t_{2})g(t_{1}, t_{1})=g(t_{2}\circ t_{1}, t_{2}\circ t_{1})$, ¿verdad? Porque si la composición está bien definida, deberíamos tener $$t_{2}\circ t_{1}=x_{0}|f(t_{2}\circ t_{1})|g(t_{2}\circ t_{1}, t_{2}\circ t_{1})\in Mor(*,*),$$ ¿verdad?

Pero no veo ninguna manera de demostrar esto. Además, ¿cuál es el elemento identidad en este caso? ¡Gracias!

Answer 1

Como es bien sabido, una categoría con un solo objeto es en realidad un monoide, ni más ni menos. Creo que la definición formal de morfismo como $\, t:=x_{0}|f(t)|g(t,t) \,$ parece una forma simplificada de la definición de una gramática simple en BNF. Lo que básicamente dice es que el lenguaje consiste en una variable única denotada por $\,x_0,\,$ y una (o más) funciones unarias denotadas por $\,f\,$ y una (o más) funciones binarias denotadas por $\,g.\,$ Un ejemplo de tales expresiones en lenguaje es $\,g(x_0,f(x_0))\,$ que denota la función definida por $\, x_0 \mapsto g(x_0,f(x_0)).\,$ La ley de composición de la categoría (monoide) es simplemente la composición de las funciones que las expresiones denotan, y por supuesto, la composición de funciones es siempre asociativa.