Funciones regulares y lentamente variables ejemplos $e^{\log(x)}$, $e^{\lfloor \log(x) \rfloor}$, $2 + \sin(x)$ y $e^{(\log(x))^\beta}$

Question

Una función $f$ se denomina regularmente variable con nivel $\alpha$ si para cualquier $\lambda > 0$ se cumple

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(\lambda x)}{f(x)} = \lambda ^\alpha$.

Una función regularmente variable con nivel $\alpha = 0$ se llama lentamente variable.

Se da la siguiente tarea:

¿Cuáles de las siguientes funciones son regularmente variables?

$f_1(x) = e^{\log(x)}$

$f_2(x) = e^{\lfloor \log(x) \rfloor}$

¿Cuáles de las siguientes funciones son lentamente variables?

$f_3(x) = 2 + \sin(x)$

$f_4(x) = e^{(\log(x))^\beta}$, $\beta \in \mathbb R$

La primera función es fácil ya que me interesa el límite para $x \rightarrow \infty$, puedo usar que para $x>0$ se cumple que $f_1(x) = e^{\log(x)} = x$ y por lo tanto $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f_1(\lambda x)}{f_1(x)} = \frac{\lambda x}{x} = \lambda$, así que $f_1$ es regularmente variable con nivel $\alpha = 1$.

¿Tienes algunas pistas para las otras funciones?

Answer 1

Para $f_{2}(x)$, usaría la estimación $$\log(x) - 1 \leq \lfloor \log(x) \rfloor \leq \log(x),$$ así que $$e^{-1} x \leq f_{2}(x) \leq x,$$ y $$\log(\lambda) + \log(x) - 1 \leq \lfloor \log(x) \rfloor \leq \log(\lambda) + \log(x),$$ así que $$e^{-1} \lambda x \leq f_{2}(\lambda x) \leq \lambda x.$$

En cuanto a $f_3(x) = 2 + \sin(x)$, sea $$\lambda = {1 \over 2}.$$ ¿Cuál es el comportamiento de $${f_{2}(\lambda x) \over f_{2}(x)}?$$ (¿Específicamente, cuáles son los mínimos y máximos?)