Una función $f$ se denomina regularmente variable con nivel $\alpha$ si para cualquier $\lambda > 0$ se cumple
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(\lambda x)}{f(x)} = \lambda ^\alpha$.
Una función regularmente variable con nivel $\alpha = 0$ se llama lentamente variable.
Se da la siguiente tarea:
¿Cuáles de las siguientes funciones son regularmente variables?
$f_1(x) = e^{\log(x)}$
$f_2(x) = e^{\lfloor \log(x) \rfloor}$
¿Cuáles de las siguientes funciones son lentamente variables?
$f_3(x) = 2 + \sin(x)$
$f_4(x) = e^{(\log(x))^\beta}$, $\beta \in \mathbb R$
La primera función es fácil ya que me interesa el límite para $x \rightarrow \infty$, puedo usar que para $x>0$ se cumple que $f_1(x) = e^{\log(x)} = x$ y por lo tanto $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f_1(\lambda x)}{f_1(x)} = \frac{\lambda x}{x} = \lambda$, así que $f_1$ es regularmente variable con nivel $\alpha = 1$.
¿Tienes algunas pistas para las otras funciones?
