¿Con qué frecuencia no es primo $1+\prod_{k=1}^n p_k$?

Question

¿Con qué frecuencia no es primo $1+\prod_{k=1}^n p_k$, donde $p_k$ es el k-ésimo número primo? considerando que $2\times3\times5\times7\times11\times13+1=59\times509 = 30031$ ¿es este un caso aislado o hay infinitos compuestos de la forma $1+\prod_{k=1}^n p_k$?

Answer 1

Define $p_n\#=p_1\cdots p_n$. Esto se llama el primorial de $p_n$ (como un factorial, pero multiplicando solo números primos).

Los números primos de la forma $p_n\# \pm 1$ se llaman primorial primes. Siguiendo una línea similar, los Números de Euclides son de la forma $p_n\#+1$ (no necesariamente primos).

Por lo tanto, tu pregunta es: "¿Cuántos Números de Euclides primos hay?" El artículo de Wolfram Mathworld dice:

El número de Euclides más grande conocido es $E_{13494}$ y no se sabe si hay un número infinito de números de Euclides primos (Guy 1994, Ribenboim 1996).

En cuanto a los números de Euclides compuestos, este comentario de François Brunault en MathOverflow dice:

Según Ribenboim (El pequeño libro de los grandes primos, página 3), tampoco se sabe si existen infinitos números de Euclides compuestos. Dichas preguntas suelen ser muy difíciles de abordar.

Resumen: Hay muchos Números de Euclides primos conocidos (A014545 es una lista de $n$ tal que $E_n$ es primo), pero no se sabe si hay un número infinito de tales primos. También hay muchos Números de Euclides compuestos conocidos, pero no se sabe si hay un número infinito de ellos.