Caracterizando el conjunto de enteros positivos que no pueden ser representados como $p+a^2$

Question

Un ejercicio en el libro de Burton "Elementary Number Theory" 7ed, p43 prob 2, es dar un contraejemplo a la afirmación:

Cada número entero positivo $n$ tiene una representación $n=p+a^2$, donde $p$ es $1$ o un número primo, y $a\ge 0$ es un entero no negativo.

Esto es falso para $n=25$. Estoy interesado en encontrar todos los $n$, o tal vez algunas familias infinitas de $n$, para los cuales es falso.

Al observar los factores de una diferencia de cuadrados, encontré la familia $n=m^2$, donde $2m-1$ es compuesto. $25$ está en esta familia.

Cuando $n$ es un cuadrado la capacidad para factorizar hace que el problema sea simple; por lo tanto, estoy buscando conjuntos más grandes de contraejemplos. Me sorprendería si se pudiera caracterizar todos los $n$ que son contraejemplos, pero me gustaría usar cualquier resultado encontrado para generar los contraejemplos apropiados.

Answer 1

No se conoce ninguna familia infinita que no sean cuadrados. De hecho, solo se conocen $21$ números que no son un cuadrado ni un primo más un cuadrado, ver OEIS/A020495:

$ 10,34,58,85,91,130,214,226,370,526,706,730,771,1255,1351,1414,1906,2986,3676,9634,21679 $

Aparentemente, estos son todos los ejemplos hasta $3000000000$.

Answer 2

Este conjunto es A014090, y las secuencias OEIS relacionadas:

• cuadrados en este conjunto: A104275^2
• nocuadrados en este conjunto: A020495 (se supone que es finito con 21 números, el número más grande es 21679)
• 0 no se cuenta como cuadrado: A064233
• 0 no se cuenta como cuadrado, primos en este conjunto: A065377 (se supone que es finito con 15 números, el número más grande es 7549)

Problema relacionado para los enteros positivos impares que no pueden representarse como p+2*a^2 con p primo, se cree que este conjunto es {1, 5777, 5993}

• 0 no se cuenta como cuadrado: A060003 (se supone que es finito con 10 números, el número más grande es 5993)
• 0 no se cuenta como cuadrado, primos en este conjunto (junto con el primo "más extraño" 2): A042978 (se supone que es finito con 8 números, el número más grande es 1493)

La combinación de estos dos problemas: enteros positivos que no pueden representarse como p+2*a^2 o 2*p+2*a^2 con p primo impar y 0 no se cuenta como cuadrado (es decir, p=2 o/y a=0 no está permitido), el conjunto es 2*A064233 junto con A060003 junto con el número 6 (6 es el único número que requiere el primo par 2), y este conjunto es infinito, ya que todos los 2*A104275^2 están en este conjunto, y para todos los números en este conjunto que no son dos veces un número cuadrado, ver A347567 (A347567 = la unión de 2*A020495, 2*A065377, A060003, y el número 6 (6 es el único número que requiere el primo par 2), así que A347567 tiene 21 + 15 + 10 + 1 = 47 números), se supone que es finito con 47 números, el número más grande es 43358

Y para el problema similar sobre números triangulares (en lugar de números cuadrados):

Este conjunto es A076768, y las secuencias OEIS relacionadas:

• números triangulares en este conjunto: 1+2+3+….+A138666
• números no triangulares en este conjunto: (conjeturado que solo el número 216)
• 0 no se cuenta como número triangular: A111908
• 0 no se cuenta como número triangular, números no triangulares en este conjunto: A255904
• 0 no se cuenta como número triangular, primos en este conjunto: A065397 (conjeturado que es finito con 4 números, el número más grande es 211)

Problema relacionado para los enteros positivos impares que no pueden ser representados como p+a*(a+1) con p primo, se cree que este conjunto es {1}, y si 0 no se cuenta como número triangular, entonces se cree que este conjunto es {1, 3}

La combinación de estos dos problemas: enteros positivos que no pueden ser representados como p+a*(a+1) o 2*p+a*(a+1) con p primo impar y 0 no se cuenta como número triangular (es decir, p=2 o/y a=0 no está permitido), el conjunto es 2*A111908 junto con {1, 3} junto con el número 10 (10 es el único número que requiere el primo par 2), y este conjunto es infinito, ya que todos los 2*(1+2+3+….+A138666) están en este conjunto, y para todos los números en este conjunto que no son dos veces un número triangular, ver A347568 (A347568 = la unión de {432}, 2*A065397, {1, 3}, y el número 10 (10 es el único número que requiere el primo par 2), así que A347568 tiene 1 + 4 + 2 + 1 = 8 números), se supone que es finito con 8 números, el número más grande es 432