El Teorema de Descomposición de Jordan, Folland

Question

El Teorema de Descomposición de Jordan - Si $\nu$ es una medida firmada, existen medidas positivas únicas $\nu^+$ y $\nu^-$ tal que $\nu = \nu^+ - \nu^-$ y $\nu^+\perp \nu^-$.

Intento de demostración - Sea $X = P\cup N$ una descomposición de Hahn para $\nu$ donde $P$ y $N$ son conjuntos positivos y negativos respectivamente. Entonces definimos la medida positiva y negativa de la siguiente manera $$\nu^{+}(E) := \nu(E\cap P) \ \ \ \nu^{-}(E) := - \nu(E\cap N)$$ entonces, \begin{align*} \nu^+(E) - \nu^-(E) &= \nu(E\cap P) + \nu(E\cap N)\\ &= \nu(E) \end{align*} Así que tenemos $\nu = \nu^+ - \nu^-$ y $\nu^+\perp \nu^-$.

Ahora creo que para completar esta demostración necesitamos mostrar la unicidad. Es decir, asumiendo que tenemos $\nu = \tilde{\nu^{+}} - \tilde{\nu^{-}}$ es otro par similar y tenemos $\tilde{\nu^{+}}\perp\tilde{\nu^{-}}$ podemos encontrar $\tilde{N}$ y $\tilde{P}$ tal que $X = \tilde{P}\cup\tilde{N}$ y necesitamos verificar que $\tilde{P}$ es positivo y $\tilde{N}$ es negativo (aún no estoy seguro de cómo hacer eso).

Luego necesitamos mostrar que $\tilde{\nu^{+}} = \nu^+$ y $\tilde{\nu^{-}} = \nu^-$ nuevamente tampoco estoy seguro de cómo hacer eso aún.

Cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

El Teorema de Descomposición de Jordan - Si $\nu$ es una medida firmada, existen medidas positivas únicas $\nu^+$ y $\nu^-$ tal que $\nu = \nu^+ - \nu^-$ y $\nu^+\perp \nu^-$.

Prueba - Sea $X = P\cup N$ una descomposición de Hahn para $\nu$ donde $P$ y $N$ son conjuntos positivos y negativos respectivamente. Entonces definimos la medida positiva y negativa de la siguiente manera $$\nu^{+}(E) := \nu(E\cap P) \ \ \ \nu^{-}(E) := - \nu(E\cap N)$$ entonces, \begin{align*} \nu^+(E) - \nu^-(E) &= \nu(E\cap P) + \nu(E\cap N)\\ &= \nu(E) \end{align*} Así que tenemos $\nu = \nu^+ - \nu^-$ y $\nu^+\perp \nu^-.

Para completar esta prueba, veamos la unicidad. Supongamos que $\nu = \tilde{\nu^{+}} - \tilde{\nu^{-}}$ es otro par así y tenemos $\tilde{\nu^{+}}\perp\tilde{\nu^{-}}$. Podemos encontrar $\tilde{P}$ y $\tilde{N}$ tales que $X = \tilde{P}\cup\tilde{N}$, $\tilde{P}$ es nulo para $\tilde{\nu^{-}}$ y $\tilde{N}$ es nulo para $\tilde{\nu^{+}}$. Entonces, para cualquier conjunto medible $E\subset \tilde{P}$, $$ \nu(E)= \tilde{\nu^{+}}(E) - \tilde{\nu^{-}}(E)=\tilde{\nu^{+}}(E)-0 = \tilde{\nu^{+}}(E) \geq 0$$ Así que $\tilde{P}$ es un conjunto positivo para $\nu$.

De manera similar, para cualquier conjunto medible $F\subset \tilde{N}$, $$ \nu(F)= \tilde{\nu^{+}}(F) - \tilde{\nu^{-}}(F)=0-\tilde{\nu^{-}}(F)= -\tilde{\nu^{-}}(F) \leq 0$$ Así que $\tilde{N}$ es un conjunto negativo para $\nu$.

Entonces $\tilde{P}$, $\tilde{N}$ es otra descomposición de Hahn para $\nu$. Por lo tanto, a partir del Teorema de Descomposición de Hahn 3.3, tenemos que $P\Delta \tilde{P} = N \Delta \tilde{N}$ es un conjunto nulo para $\nu$.

Así que, $P\setminus \tilde{P}$, $\tilde{P}\setminus P$, $N\setminus \tilde{N}$ y $\tilde{N} \setminus N$ son conjuntos nulos para $\nu$.

Para cualquier conjunto medible $H\subset X$, tenemos \begin{align*} \nu^+(H)&= \nu(H\cap P)= \nu(H\cap(P\cap\tilde{P} ))+\nu(H\cap(P\setminus \tilde{P}))=\nu(H\cap(P\cap\tilde{P}) )=\\&= \nu(H\cap(P\cap\tilde{P}) )+\nu(H\cap(\tilde{P} \setminus P))= \nu(H\cap \tilde{P})= \tilde{\nu^{+}}(H\cap \tilde{P}) - \tilde{\nu^{-}}(H\cap \tilde{P})=\\&= \tilde{\nu^{+}}(H\cap \tilde{P})= \tilde{\nu^{+}}(H\cap \tilde{P}) + \tilde{\nu^{+}}(H\cap \tilde{N})= \tilde{\nu^{+}}(H) \end{align*}

Así que tenemos que $\nu^+=\tilde{\nu^{+}}$.

De manera similar, podemos demostrar que $\nu^-=\tilde{\nu^{-}}.

(O, si asumimos, sin pérdida de generalidad, que $\nu$ no toma el valor +\infty, tenemos que $\nu^-=\nu - \nu^+ = \nu - \tilde{\nu^{+}}= \tilde{\nu^{-}}).

Answer 2

Si $\tilde\nu^+\perp\tilde\nu^-$ entonces, por la definición de singularidad de medidas, existe una partición $(\tilde P, \tilde N)$ de $X$ tal que $\tilde P$ es nula para $\tilde\nu^-$ y $\tilde N$ es nula para $\tilde\nu^+$. Pero esto significa que $(\tilde P, \tilde N)$ es una descomposición de Hahn para $\nu$, ya que $\tilde\nu^+$ y $\tilde\nu^-$ son medidas (positivas). Recordemos que el teorema de descomposición de Hahn implica entonces que $P\bigtriangleup\tilde P$ es nula para $\nu$. A partir de aquí es sencillo mostrar que $\nu^+=\tilde\nu^+$ y $\nu^-=\tilde\nu^-$.